18-19 (1.2.1 Плотность вероятности)

1.2.1 Плотность вероятности

В дополнение к рассмотрению вероятностей, определенных для множеств дискретного времени, мы также хотим рассмотреть вероятности относительно непрерывных переменных. Мы ограничимся относительно неформальными дискуссиями. Если вещественная переменная $x$ попасть в интервал $(x,x+\delta x)$ Вероятность внутри определяется выражением $p(x)\delta x$ выражать $\delta x\rightarrow 0$ ,Так $p(x)$ называется $x$ Плотность вероятности на . Как показано на рисунке 1.12. $x$ в интервале $(a,b)$ Вероятность внутри определяется как:

p(x\in(a,b))=\int_a^bp(x)dx\tag{1.24}

потому что вероятность неотрицательна и потому что $x$ Значение должно лежать где-то на действительной оси, поэтому плотность вероятности $p(x)$ Оба условия должны быть соблюдены

p(x)\geq0\tag{1.25}

\int_{-\infty}^\infty p(x)dx=1\tag{1.26}

При нелинейных заменах переменных плотность вероятности преобразуется иначе, чем простые функции, из-за фактора Якоби. Например, если мы рассмотрим переменную $x=g(y)$ изменяется, то функция $f(x)$ стать $f(y)=f(g(y))$ . Теперь рассмотрим плотность вероятности $p_x(x)$ , что соответствует переменной относительно нового $y$ плотность $p_y(y)$ , что достаточно для представления $p_x(x)$ и $p_y(y)$ это факт разной плотности. для меньшего $\delta x$ стоимость в $(x,x+\delta x)$ Наблюдения в пределах диапазона будут преобразованы в $(y,y+\delta y)$ диапазон, где $p_x(x)\delta x \simeq p_y(y)\delta y$ так что

P(z)=\int_{-\infty}^zp(x)dx\tag{1.28}

это удовлетворяет $P'(x)=p(x)$ , как показано на рисунке 1.12.

Figure 1.12

Рис. 1.12. Вероятность дискретных переменных. Вероятность можно разложить на непрерывные переменные. $x$ плотность вероятности на $p(x)$ , и пусть он лежит в интервале $(x,\delta x)$ из $x$ Вероятность определяется выражением $\delta x$ из $p(x)\delta x$ давать $\delta x\rightarrow0$ . Плотность вероятности может быть выражена как кумулятивная функция распределения $P(x)$ производная от .

Если у нас есть несколько непрерывных переменных $x_1,...,x_D$ , с вектором $x$ представляет, то мы можем определить совместную плотность вероятности $p(x)=p(x_1,...,x_D)$ такой, что x попадает в содержащую точку $x$ бесконечно малый объем $\delta x$ Вероятность в $p(x)\delta x$ данный. Эта многомерная плотность вероятности должна удовлетворять

p(x)\geq0\tag{1.29}

\int p(x)dx=1\tag{1.30}

где интеграл для всего $x$ Космический интеграл. Мы также можем рассмотреть комбинацию совместных распределений вероятностей по дискретным и непрерывным переменным.

Обратите внимание, что если $x$ является дискретной переменной, то $p(x)$ иногда называют функцией массы вероятности, потому что ее можно рассматривать как набор $x$ Вероятностная масса при допустимых значениях.

Правило произведения суммы вероятностей и теорема Байеса также применяются в случае плотности вероятности или комбинации дискретных и непрерывных переменных. Например, если $x$ и $y$ две действительные переменные, то форма правила суммирования и правила произведения

p(x)=\int p(x,y)dy\tag{1.31}

p(x,y)=p(y|x)p(x)\tag{1.32}

Формальные доказательства правила произведения суммы непрерывных переменных требуют раздела математики, называемого теорией измерения, и выходят за рамки этой книги. Однако его эффективность можно увидеть неформально, разделив каждую реальную переменную на интервалы ширины $\Delta$ Рассмотрим дискретные распределения вероятностей на этих интервалах. дойти до предела $\Delta\rightarrow0$ Затем сумма преобразуется в интеграл и дает желаемый результат.