Advanced Mathematics — классический метод замены для решения неопределенных интегралов

Эта статья возникла из личного публичного аккаунта:TechFlow, оригинальность это не просто, прошу внимания

СегодняРаздел IX специальных тем высшей математикиВ статье мы продолжаем рассматривать неопределенные интегралы.

В прошлой статье мы рассмотрели определение и простые свойства неопределенных интегралов, мыМожно просто считать, что неопределенный интеграл есть операция, обратная производной. Что нам нужно сделать, так это обратно вывести исходную функцию перед выводом на основе существующей производной функции.

В дополнение к основным определениям мы также вводим некоторые простые свойства и интегральные таблицы для часто используемых интегралов. Но, очевидно, по-прежнему очень сложно решать интегралы для многих сложных функций в соответствии с существующими свойствами, поэтому в этой статье основное внимание уделяется дальнейшему введению операционных свойств неопределенных интегралов, тем самым упрощая процесс вычисления некоторых наших сложных функций. . Даже для выполнения некоторых расчетов, которые нельзя было сделать иначе. Сегодняшнее введение является наиболее часто используемымИнтегральный метод замещения.

Метод замены часто используется в математике.Будь то расчет вывода или работа с некоторыми сложными функциями, мы часто используем метод замены, чтобы уменьшить сложность задачи. Точно так же при решении неопределенного интеграла мы также можем использовать метод замены для выполнения. Обычно метод обмена делится на две категории, почему две категории? В чем разница между этими двумя категориями? Эти вопросы можно на время отложить в сторону, и это станет ясно после прочтения статьи.

Первый способ обмена

Первый тип метода замены проще для понимания, по сути, этоОбратное правило вывода цепи.

Например, у нас есть функция F'(u) = f(u) , очевидно, что функция F(u) является исходной функцией f(u), поэтому: $\int f(u)du = F(u) + C$

если u - промежуточная переменная, и $u= \phi(x)$ ,Мы F(u) Для вывода по цепному правилу вывода составных функций можно получить:

d[F(u)]=d[F(\phi(x)]=f[\phi(x)]\phi'(x)dx

Обращая приведенную выше формулу с интегралами, мы можем получитьФормула преобразования неопределенного интеграла:

\int f[\phi(x)]\phi'(x)dx = F[\phi(x)] + C = [\int f(u)du]_{u=\phi(x)}

Мы получили формулу путем простого вывода, так как же эта формула работает? На первый взгляд всегда кажется, что начать немного сложно, это нормально, и нам нужно продолжать упрощать.

Предположим, мы спрашиваем $\int g(x)dx$ , решить напрямую труднее, если мы сможем найти способ преобразовать g(x) в $f[\phi(x)]\phi'(x)$ , то мы можем применить формулу, чтобы получить:

\int g(x)dx = \int f[\phi(x)]\phi'(x) dx = [\int f(u)du]_{u=\phi(x)}

В это время интеграл от функции g(x) преобразуется в интеграл от функции f(u).Если удается получить исходную функцию f(u), то получается и исходная функция g(x ). Вообще говоря, функция f(u), полученная после обмена и упрощения, будет намного проще исходной функции g(x), в чем и заключается смысл метода обмена.

Давайте рассмотрим пример:

Так как x в знаменателе имеет коэффициент, мы не можем использовать интегральную формулу напрямую. В это время нам нужно изменить юань.Нетрудно подумать, что мы можем использоватьu = 3 + 2x. Поскольку нам нужно составить f(u)du, мы находим, что производная от u по x равна 2, поэтому мы можем преобразовать исходную форму:

\begin{aligned} \int \frac{1}{3 + 2x}dx &= \int \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3+2x} d(3 + 2x) \\ &= \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C \\ &= \frac{1}{2} \ln|3 + 2x| + C \end{aligned}

На приведенном выше примере мы можем обнаружить, что суть метода замены очень проста.После смены юаня нам нужно составить f(u)du. Когда мы соберемся вместе, мы сможем использовать u как интегральную формулу набора переменных.

Рассмотрим более сложный пример:

В этом примере функция, которую мы хотим вычислить, более сложная,Содержит как тригонометрические, так и квадратные операции. Просто и грубо сделать это точно не получится. cos^2x рассматривается как $\cos x \cdot \cos x$ , поэтому мы можем применить формулу разности интегральной суммы, чтобы получить: $\frac{1}{2}(1 + \cos 2x)$

Здесь все намного проще:

\begin{aligned} \int \cos^2x dx = \int \frac{1}{2}(1 + \cos 2x) dx \end{aligned}

мыПусть у = 2х, приведенную выше формулу можно преобразовать в:

\begin{aligned} \int \cos^2x dx &= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int du + \int \frac{1}{2}\cos u du) \\ &= \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{4} \int \cos u du \\ &= \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \end{aligned}

Второй способ обмена

Познакомившись с первым типом метода обмена, давайте рассмотрим второй тип метода обмена.

В методе подстановки первого типа мы заменяем относительно сложную функцию новой переменной, например, используем u для замены таких функций, как 2x или 2x+3, что упрощает последующие операции. Идея второго вида метода обмена прямо противоположна, мыПреобразование одной переменной в сложное выражение. Например, мы используем тригонометрические функции или полярные координаты для представления исходного x, что часто встречается в школьных математических задачах, особенно в задачах аналитической геометрии. Мы часто устанавливаем полярные координаты и используем формулы полярных координат для обмена элементами, чтобы упростить вычисления.

Иными словами, второй метод обмена прямо противоположен логике первого метода обмена. $\phi(t)$ . Итак, формула преобразования:

Но для этого есть предпосылки: поскольку f(x) интегрируема, значит, интеграл должен существовать, а формула после замены элементов в правой части не обязательно. Итак, мы должны гарантировать $\int f[\phi(t)]\phi'(t)$ Оригинальная функция существует. Во-вторых, после того, как мы закончили вычисление элемента обмена, нам нужно использовать $x = \phi(t)$ обратная функция $t = \phi^{-1}(x)$ Подставить обратно. Но чтобы убедиться, что обратная функция существует и выводима, мы можем просто рассмотреть исходную функцию $x = \phi(t)$ монотонно дифференцируема на некотором интервале, и $\phi'(t) \neq 0$ .

Согласно приведенному выше определению, запишем формулу обмена:

\int f(x) dx = [\int f[\phi(t)]\phi'(t)dt]_{t = \phi^{-1}(x)}

Мы также можем использоватьправило вывода цепичтобы доказать, что мы предполагаем $f[\phi(t)]\phi'(t)$ Первоначальная функция $\Phi(t)$ ,так $\Phi(t)=\Phi[\phi^{-1}(x)]=F(x)$ ,Мы F(x) Вывод, вы можете получить:

\begin{aligned} F'(x) &= \frac{d\Phi}{dt}\cdot \frac{dt}{dx} = f[\phi(t)]\phi'(t)\cdot \frac{1}{\phi'(t)} \\ &= f[\phi(t)] = f(x) \end{aligned}

Давайте также рассмотрим пример: $\int \sqrt{a^2 - x^2}dx$

В этом примере есть квадратные корни и квадратные члены, что кажется очень хлопотным, а в это время нам нужно поменять местами элементы. так как $\sin^2 t + \cos^2t = 1$ , так что мы можем сделать $x = a\sin t$ , $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ . Подставив в исходную формулу, получим:

\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 - x^2}dx = \int a\cos t \cdot a\cos t dt = a^2 \int cos^2 tdt \end{aligned}

$\int cos^2 tdt$ По сути, это второй пример, о котором мы упоминали выше, ответ мы вычислили ранее: $\int \cos^2x dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$ , подставляем в исходную формулу, можем получить:

\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 - x^2}dx &= a^2(\frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4}) + C \\ &= \frac{a^2}{2}t + \frac{a^2}{2}\sin t \cos t + C \end{aligned}

так как $x = a\sin t, -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ ,так $t = \arcsin \frac{x}{a}$ , $\sin t = \frac{x}{a}$ , $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2t} = \sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$ , мы подставляем их в приведенное выше уравнение, чтобы получить окончательный результат:

\int \sqrt{a^2 - x^2}dx = \frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a} + \frac{1}{2}x \sqrt{a^2 - x^2} + C

На этом этапе были введены два метода обмена.Хотя это выглядит просто, мы объединяем широко используемые интегральные формулы, введенные ранее.Также может быть получено множество различных обычаев. Однако, если мы хотим понять все эти обычаи, мы должны быть хорошо знакомы с интегральной формулой и применением обмена.Это не может быть сделано в одной или двух статьях, и нужно много практиковаться.Я думаю, что студенты те, кто сдает вступительные экзамены в аспирантуру, должны иметь очень большой опыт.

На сегодняшней статье все. Если вы чувствуете, что что-то приобрели, пожалуйста, нажмитеПодпишитесь или сделайте ретвитЧто ж, твое маленькое усилие много значит для меня.