Детали определения сходимости по распределению

1 Определение

Определение сходимости по распределению таково: последовательность случайных величин$\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$, если их кумулятивная функция распределения cdf sequence$\{F_1\}_{n=1}^{\infty}$, с некоторой случайной величиной$X$cdf$F$, удовлетворять

в любой$F(x)$последовательные точки$x$установлен повсеместно. говорят, что они сходятся к случайным величинам в соответствии с распределением$X$, обозначаемый как$X_n\stackrel{D}\longrightarrow X$.

В этом определении есть два важных момента, которые легко упустить из виду: во-первых, оно должно соответствовать cdf случайной величины, а не какой-либо функции.$F(x)$Условие выполняется в непрерывных точках .

Далее мы анализируем, почему он так определен.

2 Предельная функция должна быть cdf

учитывать$X_n\sim N(0,\sigma_n^2)$,$\sigma_n\to +\infty$,У нас есть

в любой момент$x$везде есть$\Phi(\dfrac{x}{\sigma_n})\to\Phi(0)=\dfrac{1}{2}$, поэтому можно установить$F(x)=\dfrac{1}{2}$, оно удовлетворяет предельным условиям в определении. Но в это время,$F(x)$не является cdf любой случайной величины, потому что cdf случайной величины должен удовлетворять$\lim\limits_{x\to -\infty}F(x)=0$а также$\lim\limits_{x\to \infty}F(x)=1$.

Как это исправить? Мы просто позволяем последовательности$\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$Его можно ограничить вероятностью. В определении требуется, чтобы предельная форма последовательности функций cdf соответствовала cdf случайной величины.

3 Учитывать только последовательные точки

Напомним еще одно свойство cdf: непрерывность справа, т. е.$F(x)=F(x+)$. Однако в случае сходимости по распределению вероятны неудовлетворительные ситуации, такие как$X_n=X+\dfrac1 n$, легко узнать

как$n\to\infty$,но$F_n(x)\to F(x-)$. как$F$существует$x$не удовлетворяет непрерывности слева, то не может удовлетворять$F_n(x)\to F(x)$, поэтому в определении$F$разрывы исключены.

Для конкретного примера, например$X_n\sim U_{(0,1/n)}$,но$X_n$Распределение в пределе вырождается к$X=1$,и$F_n(0)=0$Хэн установлен, но$F(0)=1$, Таким образом, для$x=0$не в состоянии удовлетворить$F_n(x)\to F(x)$,но$x=0$да$F(x)$разрывы, поэтому их можно устранить. Так что все еще думаю$X_n\stackrel{D}\longrightarrow X$.