@toc

1 Два хороших литературных источника, описывающих главные углы

1 Principal Angles Between Subspaces andTheir Tangents 2 PRINCIPAL ANGLES BETWEEN SUBSPACES IN AN A-BASED SCALAR PRODUCT: ALGORITHMS AND PERTURBATION ESTIMATES

2 Визуальное понимание главных углов

Предположение$X$Является$n*p$матрица, а между столбцамиОртогональный блок, что можно понимать как наличие$p$Кусок$n$матрица размерных векторов, предположения$Y$Является$n*q$матрица, а между столбцамиОртогональный блок, что можно понимать как наличие$q$Кусок$n$матрица размерных векторов, мера$X$и$Y$Главные углы между ними определяются как:$\Theta(X,Y)=[\theta_{1},...,\theta_{m}]$в$m=min(p,q)$,$[\theta_{1},...,\theta_{m}]$Существуют следующие определения:$s_{k}=cos(\theta_{k})=\max_{x\in X}\max_{y\in Y}\left|x^Hy\right|=\left|x_{k}^Hy_{k}\right|$    в приведенной выше формуле$x_{k}$и$y_{k}$соответственно$X$и$Y$Вектор-столбец в .     Выше приведено определение главного героя.Следует отметить, что главные углы определяют не угол, а ряд углов.Количество углов определяется количеством векторов в поле с меньшим количеством векторов в двух полях. Углы обычно сортируются в порядке убывания значения косинуса. Определение угла с наибольшим косинусом можно понимать следующим образом: вычислить значение косинуса векторов-столбцов в двух областях соответственно, чтобы значение приняло максимальное значение.$x_{k}$и$y_{k}$- главный вектор, соответствующий самому большому главному герою. И так далее для других главных углов.     Этот ряд главных углов можно визуализировать, поскольку векторы-столбцы между двумя областями сопоставляются друг с другом, и достигается комбинация между векторами с наименьшим расстоянием. Так же, как найти партнера, два человека, которые больше всего похожи на мужа и жену, образуют семью. Затем отсортируйте по степени сходства, чтобы сформировать упорядоченный вектор. Если совпадающие векторы в двух полях могут образовать модельную пару очень похожего вида, то можно сказать, что разница между двумя полями мала, или угол мал, или расстояние мало. Если углы в этом векторе главных углов велики, это означает, что расстояние или сходство между векторами-столбцами в двух областях очень мало.

Три метода расчета главных углов между двумя областями

1 Рассчитайте главные углы между двумя областями по определению

     для векторов-столбцовОртогональный блокДва поля вектора или две матрицы, как определено, сопоставляются одно за другим, а затем соответственно находятся главные углы и соответствующие главные векторы.

2 Использование разложения по сингулярным числам

    для векторов-столбцовОртогональный блокдва поля вектора$X$и$Y$, две матрицы$n*p$и$n*q$Да здесь$n$- размерность указывающей величины,$p$и$q$представляет количество выборок. Сначала вычисляем матрицу$T$: $T=X^HY$Тогда для матрицы$T$Выполните разложение по единственному значению (SVD)$T=U\Sigma V^H$ $\Sigma$Является$p*q$Диагональная матрица, каждое значение которой представляет косинус главных углов между двумя областями, соответствующий главный вектор равен$XU$и$YV$первый$m$вектор-столбец, где$m=\min(p,q)$

3 Другие методы решения главных углов

В двух упомянутых выше статьях есть и другие решения, в которых используются такие понятия, как ортогональное дополнение.Если вы хотите узнать больше, вы можете найти соответствующие методы в двух вышеприведенных статьях.