Квадратичные задачи оптимизации — 3 — Производные и экстремальные точки

Это 16-й день моего участия в ноябрьском испытании обновлений.Подробности о событии:Вызов последнего обновления 2021 г.

В этой статье представлены ужечетко определенная проблемаНиже квадратичная производная связана с крайней точкой.

Существует ли точка с производной от 0?

• Для общей квадратичной формы:

• Производная:

• Существует ли точка с производной от 0 и уравнение$\bf{Ax}=\bf{b}$Существует ли эквивалентность решения
• Предполагать${r_A} = r(A)$за$\bf{A}$классифицировать
• $\bf{Ab}$Является дополненной матрицей,${r_{Ab}} = r(\bf{Ab})$Для ранга расширенной матрицы существуют:

состояние	в заключении
$r_{A}<r_{Ab}$	У системы уравнений нет решения, и нет точки, где производная равна 0 в квадратичной форме
$r_{A}=r_{Ab}=n$	Система уравнений имеет единственное решение, а квадратичная форма имеет единственную точку, где производная равна 0
$r_{A}=r_{Ab}<n$	Система уравнений имеет бесконечное число решений, а квадратичная форма имеет бесконечное число точек, в которых производная равна 0.
$r_{A}>r_{Ab}$	Невозможно, ранг расширенной матрицы не станет меньше

Существует ли крайняя точка?

• Когда точка, в которой производная равна нулю, не существует, т.е.$\eqref{2}$Когда система уравнений не имеет решения, крайняя точка не существует

• Когда существует точка с производной 0:

  • как$\bf{A}$— положительно определенная матрица, то формула$\eqref{1}$Существует минимальное значение, то есть минимальное значение
  • как$\bf{A}$— отрицательно определенная матрица, то формула$\eqref{1}$имеет максимальное значение
  • как$\bf{A}$Это полуположительно определенная матрица, и ее собственное значение равно 0. Поскольку предпосылка состоит в том, что система уравнений имеет решение, ранг и матрица расширенной матрицы равны$\bf{A}$равны по рангу, то$\bf{b}$Соответствующее значение в равно 0, система уравнений имеет бесконечно много наборов решений, но она должна удовлетворять определенным условиям.При этом наборе условий система уравнений имеет минимальное значение, то есть, если$\bf{A}$является положительно полуопределенной матрицей$\eqref{1}$имеет минимальное значение, и в то же время является минимальным значением
  • Точно так же, если$\bf{A}$полуотрицательно определенная матрица, то$\eqref{1}$имеет максимальное значение
  • как$\bf{A}$Собственные значения положительны или отрицательны, тогда$\eqref{1}$В настоящее время существуют минимальные/максимальные значения, но не минимальные/максимальные значения.$\eqref{1}$нет минимального/максимального значения

• Чтобы сделать обсуждение содержательным, мы обсудим позже$\eqref{1}$оптимизация в$\bf{A}$При условии, что это полуположительно определенная матрица, найти ее минимальное значение, т. е. минимальное значение