Рассматривая сегодня матрицу, как программист, должно быть более или менее коснулось применение матрицы в программе, особенно применение алгоритма смены изображения.
1. Матрица
1. Определения
Матрица представляет собой набор комплексных или действительных чисел, расположенных в виде прямоугольного массива.Первоначально это была квадратная матрица, составленная из коэффициентов и констант из системы уравнений. Эта концепция впервые была предложена британским математиком XIX века Келли. (Это определение взято из энциклопедии Baidu)
Объявим матрицу через систему уравнений (очень хлопотно писать математические символы на ПК, я не знаю, у кого есть хорошая программа для написания символов формул, которую можно порекомендовать):
Вышеупомянутая тройная система линейных уравнений, Согласно исходному определению матрицы, существует матрицаAКак показано ниже
2. Матричные операции
2.1 Добавление матриц
Из приведенного выше рисунка видно, что матрицаAи матрицаBСложение, все они матрицы 2 х 2, сложение - это сложение соответствующих значений элементов двух матриц, например: матрицаAСтрока и столбец элементов 3 и матрицаBЭлементы одной строки и одного столбца -7 добавляются для получения элементов одной строки и одного столбца новой матрицы -4 и так далее для вычисления новой матрицы. На фото вышеA+Bрезультат расчета иB+AЭто тот же переместительный закон сложения.
переопределить две матрицыA[2x2] иB[2x3]:
матрицаAэто матрица с 2 строками и 2 столбцамиB2 строки и 3 столбца, еслиA+B, согласно правилу вычисления сложения двух вышеуказанных матриц, вы обнаружите, что матрицаBНевозможно добавить элементы в третий столбец .Таким образом, вывод таков: при добавлении двух матриц размеры (количество строк и столбцов) двух матриц должны быть одинаковыми, например, 2x2 или 3x3 и т. д.то же самое, еслиA+B+CТаким же образом вычисляется сложение трех и более матриц.
2.2 Вычитание матриц
Как видно из приведенного выше рисунка, матрицаA-BВычисление представляет собой вычитание каждого соответствующего элемента, и существует правило:
матрицаA-B = -(B-A), то же, что и сложение матриц, размерности (количество строк и столбцов) двух или более вычитаемых матриц должны быть одинаковыми, иначе вычитание не может быть выполнено.
2.3 Умножение матриц
есть матрицаAиB, умножая две матрицы,Aa11 (представляющий элемент первой строки и первого столбца матрицы), a12 иBДва элемента первого столбца перемножаются и складываются вместе как значение элемента a11 новой матрицы.
На приведенном выше рисунке четко описаны правила вычисления матричного умножения.
Пусть есть две матрицыCиD, соответственноC·DиD·C, очевидно, что вычисляемые результаты не совпадают, поэтому умножение матрицы обычно не выполняется: переместительный закон умножения, то есть:C·D≠D·C
Как показано выше, вы обнаружите, что никакие две матрицы нельзя перемножить.Две матрицы могут быть перемножены только в том случае, если количество столбцов матрицы умножения A и количество строк умноженной матрицы B совпадают.
3. Матрица идентичности
Прежде чем представить единичную матрицу, давайте поговорим о том, что такое квадратная матрица.Как следует из названия, квадратная матрица представляет собой квадратную матрицу с одинаковым количеством строк и столбцов, например:
Как показано на рисунке выше, матрица с одинаковыми строкой и столбцом является квадратной матрицей, интуитивно понятной и простой для понимания.
Единичная матрица всегда представляет собой специальную квадратную матрицу.Все ее элементы состоят из 0 и 1, а элементы диагонали равны 1, а остальные элементы равны 0. Конечно, единичная матрица первого порядка содержит только один элемент 1:я₁= [1].
Приведенные выше четыре квадратные матрицы являются тождественными матрицами, т.е.я₂Матрица идентичности второго порядка,я₃Индивидуальные матрицы порядка 3, порядка 4 и порядка 5. Порядок единичной матрицы можно бесконечно расширять, например, единичную матрицу порядка n:
Матрица идентичности обладает особенно важным свойством.I·A = A,A·I = A, где матрицаAЭто квадратная матрица той же размерности, что и единичная матрица. Это не квадратная матрица, которую нельзя умножить на единичную матрицу. Это свойство легко доказать. Например, мы будем знать:по очередиA·Iтакже равноA
4. Обратная матрица
Как показано выше, если матрица обратима, то у нее будут свойства:A^-1·A=I,Iявляется единичной матрицей. Метод нахождения обратной матрицы, показанный на рисунке выше,обратная матрица = обратное значение определителя матрицы * матрицаAприсоединенная матрица. Когда матрицаAЕсли определитель равен 0, т. е. ad - bc = 0 или a/c = b/d, то эта матрица не имеет обратной матрицы (обратная величина определителя 1/|A| не определена), такую матрицу мы также называем«Сингулярная матрица».
(Продолжение следует...)
Цикл статей по основам математики искусственного интеллекта