Математические основы искусственного интеллекта ---- Производные

искусственный интеллект алгоритм

Цикл статей по основам математики искусственного интеллекта


Изучение искусственного интеллекта по-прежнему требует определенной основы в математике.Будь то алгоритм или задействованное понятие существительного, оно основано на математической модели для обучения и обучения, поэтому очень важно понимать задействованные математические знания. это снова, чтобы изменить мышление от традиционного метода программирования.

Здесь вводится производная одномерной функции (скалярного поля), а производная многомерной функции (векторного или многомерного матричного поля) будет введена позже.Поскольку многомерная функция требует знания векторов и матриц, корреляция между векторами и Сначала будут введены матрицы, а затем будут представлены подробности.

1. Производная

1. Определения

Производная функции f'(x0) есть производная функции f(x) при значении x0, а также наклон касательной функции f(x) в точке x0. Эта точка изображается точкой Р, как показано на рисунке:

2. Процесс вывода вывода

Мы знаем формулу для вычисления наклона функции в средней школе: y-y0 = m(x - x0), где m - наклон функции. В частности, как нам найти это значение наклона или производную?

导数的几何图形上的推导
Предположим, что на приведенном выше рисунке существует прямая l, которая пересекает функцию f(x) в точках p0 и Q, оставляя точку p0 неизменной, когда точка Q бесконечно близка к точке p0 вдоль функции f(x) , точка P0 и точка Q При совпадении прямая l совпадает с касательной n точки P0 в этот момент времени Это процесс решения, бесконечно стремящийся к значению x0 (то есть к точке P0). На приведенном выше рисунке показано, что изменение от точки P0 до точки Q на оси x равно Δx, значение x точки Q равно x0+Δx, а изменение точки Q на оси y равно Δy или Δf.

Координаты точек P0 и Q:P0(x0, f(x0)), Q(x0+∆x, f(x0+∆x)) В начале мы упомянули, что формула для расчета наклона y-y0 = m(x-x0), m = (y - y0) / (x - x0), m = Δf / Δx, которая является секущей l, что требует Для наклона P0 необходимо ввести понятие предела Наклон или производная имеет следующий вид (при приближении Δx к 0, то есть при приближении вариации к 0 точка Q и точка P0 совпадают):

求导公式

3. Пример вывода

Пример 1

По приведенной выше формуле, например, есть функция f(x) = 1/x, найдите производную по x0?

函数1/x的求导推导过程
Когда Δx приближается к 0, производная функции 1/x равна -1/x^2.

Пример 2

После того, как производная функции 1/x получена, давайте решим интересную задачу и найдем площадь треугольника, заключенного пересечением касательной точки P при функции f(x) = 1/x и оси координат, как показано на следующем рисунке. Найдите площадь треугольника AOB:

После вышеуказанного исследования мы уже знаем уравнение касательной: y-y0 = m(x - x0), производная функции f(x) = 1/x равна -1/x^2, чтобы найти площадь треугольника, мы запрашиваем только длины отрезков AO и BO, то есть координаты (0, y) точки A и координаты (x, 0) точки B, получаются путем подстановки значения координат и производные функций точек А и В в уравнение касательной:
Процесс решения немного запутанный.После подстановки координат и производных A и B получаются значения y и x двух сторон треугольника, представленного A и B. Наконец, согласно формуле площади треугольника: 1/2AOBO, площадь равна: 2, функция f(x) = 1 / x, что довольно волшебно.Площадь треугольника, заключенного в пересечении касательной точки функции и оси координат, равна всему 2.

Пример третий

Поскольку функция f (x) = 1 / x (то есть степень x) может найти свою производную, а f (x) = x ^ n, вы также можете найти ее производную. Ниже приведен процесс вывода :

Самое сложное здесь — это разложение бинома (x + Δx)^n в полином (биномиальная теорема) В школьном учебнике по математике это должно упоминаться, на самом деле, просто попробуйте (x + Δx)^2 и (x + Δx)^3, вы можете найти закон, O((Δx)^2), написанный на приведенном выше рисунке, представляет собой ряд членов, состоящих из Δx, потому что наш вывод в конечном итоге является предельным процессом, поэтому только член вариация записывается как общий термин, не имеющий фактического расчетного значения. Наконец, делается вывод, что когда Δx стремится к 0, производная функции f (x) = x ^ n равна f '(x) = nx ^ n-1. С помощью этой формулы производной мы также можем доказать, что то, что мы имеем в первом примере производная вычисляемой функции f(x) = 1/x также равна f'(x) = -1/x^2 (т.е. -x^-2). После вычисления Примера 3 легко получить полиномиальную функцию, например: f(x) = 10x^3 -2x^5, f'(x) = 30x^2 - 10x^4.

Пример четвертый

Ниже приведена производная нижней тригонометрической функции: f(x) = sinx, f '(x) = (sinx)', используя формулу вывода от двери до двери, получаем:

После того, как два угла синуса и формула развернуты, оказывается, что когда Δx стремится к 0, cosΔx равен 1, поэтому cosΔx-1/Δx равен 0, а когда Δx стремится к 0, sinΔx равен равно 0, а sinΔx/Δx равно 1.

Вывод функции косинуса f(x) = cosx, f '(x) = (cosx)':

Два угла и формулы приведенных выше тригонометрических функций: sin(x + Δx) = sinx·cosΔx + cosx·sinΔx cos(x + Δx) = cosx·cosΔx - sinx·sinΔx

2. Производные высшего порядка

Так называемая производная высшего порядка означает, что первая производная функции называется производной первого порядка, производная второго порядка называется производной второго порядка, производная второго порядка называется производной третьего порядка, а производная третьего порядка называется производной четвертого порядка.Производные, если производная n раз, то это производная n-го порядка, а это производные высокого порядка. Вот пример, производная по n функции f(x) = x^n, решить? Ньютон использовал f'(x) для представления первой производной, а Лейбниц использовал d/dx(x^n) для представления первой производной при дифференцировании. Его также можно представить как D x^n, (d/dx)d/ dx(x^n) означает, что вторая производная также может быть представлена ​​как D ^2 x^n, а n-я производная может быть представлена ​​как D^nx^n

Теперь найдем производную n-го порядка функции f(x) = x^n:
n阶导求导过程
В конце концов, это n!, а уровень n является константой.Если выполняется n+1 производная, то n+1 производная функции f(x) = x^n равна 0.

3. Часто используемая производная формула

常用导数公式
Показатель степени и логарифмы запомнить сложнее, и я просто не могу их часто запоминать. о_о|||, мне стыдно, что я забыл знание показателей степени и логарифмов в старших классах. В будущем все же необходимо иметь специальную статью, которая знакомит и рассматривает понятия, свойства и алгоритмы экспоненциальных логарифмов.

Сначала здесь вводятся производные знания. Относительно вывода четырех операций в Интернете имеется много информации. Вы можете найти соответствующие правила вывода в Интернете. Методы вывода можно использовать во втором подзаголовке. Вычислительный вывод. Надеюсь, эта статья поможет вам вспомнить деривативы средней школы и вещи, связанные с дифференциацией.



Цикл статей по основам математики искусственного интеллекта

Категории