Матричный анализ (1) Линейное пространство и линейное преобразование

мойИмя общедоступной учетной записи WeChat: Глубокое обучение и расширенное интеллектуальное принятие решенийИдентификатор официального аккаунта WeChat: Мультиагент1024Введение в публичный аккаунт: В основном исследуйте и делитесь соответствующим контентом, таким как глубокое обучение, машинные игры и обучение с подкреплением! Ждем вашего внимания, добро пожаловать учиться и обмениваться прогрессом вместе!

Мы узнали о векторных пространствах в линейной алгебре, которые представляют собой наборы векторов. В этот набор можно добавлять векторы, а векторы можно умножать на кратное.Отсюда мы можем обсуждать такие понятия, как линейная комбинация векторов и линейная корреляция векторов.

Концепция линейного пространства

линейное пространство

Определение 1.1: поле чисел: непустой набор комплексных чисел, закрытый для суммирования, разности, произведения и частных операций.называетсячисловое поле.
Определение 1.2:Предполагатьявляется непустым множеством, если вопределено вБинарные операции (дополнение),
- которыйлюбые два элемента в $\alpha$ , $\beta$ После этой операции результат все равноэлемент в $\alpha$ и $\beta$ изи,Помните $\alpha + \beta$ .
- в области чиселиопределить операцию междуУмножение количества, то есть длялюбое число вилюбой элемент $\alpha$ , результат этой операции по-прежнемуэлемент , называемыйи $\alpha$ изколичество продукта,Помните $k\alpha$ .

Если вышеуказанная операция удовлетворяет следующим правилам, она называетсяполе чиселВверхлинейное пространство.Элементы в также называются векторами.

любому $\alpha$ , $\beta$ $\in$ , это называетсяполе чиселлинейное пространство на ,Элементы в также называются векторами.
любому $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\in$ , $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$ ;
существуетВ , есть нулевой элемент, обозначаемый как, для любого $\alpha + 0 = \alpha$ ;
любому $\alpha \in V$ , оба $\alpha$ отрицательный элемент , обозначаемый как $-\alpha$ ;
любому $\alpha \in V$ ,имеют $1 \cdot \alpha = \alpha$ ;
любому $\alpha \in V$ , $k,l \in P$ , $k(l \alpha) = (kl)\alpha$ ;
любому $\alpha \in V$ , $k,l \in P$ , $(k+l)\alpha = k \alpha + l\alpha$
любому $k \in P$ , $\alpha,\beta \in V$ , $k(\alpha+\beta) = k \alpha + k\beta$

Примеры линейных пространств, базисов, координат

Определение 1.3: (линейная корреляция) приимеет набор элементов $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ , $\cdots$ , $\alpha_{n}$ Линейно независимый, а другие элементы выражаются ими линейно, то оно называется $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ , $\cdots$ , $\alpha_{n}$ заГруппа, котораябаза,для космосаизмерение, обозначаемое как,икоэффициенты выраженияэтого элементакоординировать.
пример: попрошайничество $P_{3}[t]$ средний многочлен $1+t+t^{2}$ На базе 1,,Координаты ниже:

развязать:

1+t+t^{2} = k_{1} \times 1+k_{2} \times (t-1) + k_{3}(t-2)(t-1)

Сделайте их соответствующие предметы равными.

Базисное преобразование и преобразование координат

Вообще говоря, элемент имеет разные координаты под разными основаниями, какая связь между их координатами?

ПредполагатьдаВверхмерное линейное пространство, $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ , $\cdots$ , $\alpha_{n}$ и $\beta_{1}$ , $\beta_{2}$ , $\cdots$ , $\beta_{n}$ дадваразные субстраты,так как $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ , $\cdots$ , $\alpha_{n}$ является базой, поэтому $\beta_{1}$ , $\beta_{2}$ , $\cdots$ , $\beta_{n}$ может быть выражена линейно по этому базису, связь между двумя базисами такова:

=(\alpha_{1}，\alpha_{2}，\cdots，\alpha_{n})A

Использоватьматрица переходаВы можете получить отношение между двумя координатами этого элемента:

\alpha=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)\left(\begin{array}{c}{l_{1}} \\ {l_{2}} \\ {\vdots} \\ {l_{n}}\end{array}\right)

=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) A\left(\begin{array}{c}{l_{1}} \\ {l_{2}} \\ {\vdots} \\ {l_{n}}\end{array}\right)

=\left( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \left(\begin{array}{c}{k_{1}} \\ {k_{2}} \\ {\vdots} \\ {k_{n}}\end{array} \right)

\left(\begin{array}{c}{k_{1}} \\ {k_{2}} \\ {\vdots} \\ {k_{2}}\end{array} \right)=A\left(\begin{array}{c}{l_{1}} \\ {l_{2}} \\ {\vdots} \\ {l_{n}}\end{array} \right)

теорема о подпространстве и размерности

Подпространства и как их генерировать

Мы знаем трехмерное линейное пространство $R^{3}$ двумерная плоскость $R^{2}$ также является линейным пространством, такое пространство называетсяподпространство.

Определение 1.5:Предполагатьэто числовое полеВверхлинейное пространство,данепустое подмножество , еслидля линейного пространстваопределенныйСложение и умножениетакже составляютлинейное пространство на , то оно называетсязаизЛинейное подпространство,подпространство для краткости.
Теорема 1.1.:Предполагатьдалинейное пространство нанепустое подмножество , тодаизДостаточные и необходимые условия для линейных подпространств.Да: 1): Если $\alpha，\beta \in W$ ,но $\alpha + \beta \in W$ ; 2): если $\alpha \in W$ , $k \in P$ ,но $k\alpha \in W$ . $\{0\}$ исам тожеподпространства , два подпространстваизтривиальное подпространство.
Предполагать $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ , $\cdots$ , $\alpha_{m}$ даВверхэлементы, из этогоНабор любых комбинаций элементов $\{k_{1}\alpha_{1}+\cdots+k_{m}\alpha_{m}\}$ правильносерединаСложение и умножение закрыто, так что это подмножествоподпространство в . Упоминается как:

L(\alpha_{1}，\alpha_{2}，\cdots，\alpha_{m})

Метод генерации нового подпространства из исходного подпространства: 1 комплект $V_{1}$ , $V_{2}$ даподпространство, то $V_{1} \cap V_{2}$ даподпространство , называемое подпространством двух подпространствпересечение подпространства. 2): установить $V_{1}$ , $V_{2}$ даподпространство , $V_{1}+V_{2}$ Слишкомподпространство, здесь:

V_{1}+V_{2}=\{\alpha_{1}+\alpha_{2}|\alpha_{1} \in V_{1}，\alpha_{2} \in V_{2}\}

Это подпространство называется $V_{1}$ и $V_{2}$ изи подпространство.

Теорема размерности

состоит из двух подпространств $V_{1}$ , $V_{2}$ размерность сгенерированного подпространства $dim(V_{1}+V_{2})$ , $dim(V_{1} \cap V_{2})$ Существует связь между размерностью исходного подпространства, которая называетсяТеорема размерности,который:

Теорема 1.2: $V_{1}+V_{2}$ дапрямойНеобходимое и достаточное условие $V_{1} \cap V_{2} = \{0\}$ .

Эти понятия более важны и их нужно помнить.

Линейные преобразования в линейном пространстве

Определение 1.6:Предполагатьдапреобразование на , если для любого $\alpha$ , $\beta \in V$ и $k \in P$ Как есть:

называетсязаВверхЛинейное преобразование. Линейное преобразование сохраняетоперация выше.

Приведенную выше формулу линейного преобразования необходимо помнить, и часто рассматривают это изменение и следующие варианты. Например, следующая формула матрицы линейного преобразования:

Зависит от:

(\varepsilon_{1}，\varepsilon_{2}，\varepsilon_{3} ) = (e_{1},e_{2},e_{3})C

можно получить:

T(\varepsilon_{1}，\varepsilon_{2}，\varepsilon_{3} ) = T(e_{1},e_{2},e_{3})C

Если вы сейчас знаете:

T(\varepsilon_{1}，\varepsilon_{2}，\varepsilon_{3} ) = (\varepsilon_{1}，\varepsilon_{2}，\varepsilon_{3} ) A

можно найти:

T(e_{1},e_{2},e_{3}) = T(\varepsilon_{1}，\varepsilon_{2}，\varepsilon_{3} ) C^{-1}

равно:

T(e_{1},e_{2},e_{3}) = (\varepsilon_{1}，\varepsilon_{2}，\varepsilon_{3} ) A C^{-1}

равно:

T(e_{1},e_{2},e_{3}) = (e_{1},e_{2},e_{3})CA C^{-1}

Нулевая трансформацияипреобразование единиц измеренияСлишкомЛинейное преобразование,Нулевая трансформацияэто преобразование, которое обращает все элементы в ноль,преобразование единиц измерениясостоит в том, чтобы сопоставить каждый элемент с собственным преобразованием.
Линейные преобразования также можно комбинировать как операцию,если $T_{1}$ , $T_{2}$ является линейным преобразованием, то:

(T_{1}+T_{2})\alpha =T_{1}\alpha+T_{2}\alpha_{}, \\ (kT_{1})\alpha=k(T_{1}\alpha)

Можно показать, что все линейные преобразования в линейном пространстве также осуществляются в линейное пространство, обозначаемое как L(V)

То есть с помощью линейного преобразования определено подпространство, одно из которых является подпространством изображения, а другое - ядерным подпространством.рисунок: $TV=\{T\alpha|\alpha \in V\}$ ядерный: $T^{-1}(0)=kerT=\{\alpha|\alpha \in V,T\alpha=0\}$ .

как подпространствоОтсостоит из изображений всех элементов $\beta \in TV$ , то должно быть $\alpha \in V$ , так что $\beta=T\alpha$ .

ядерное пространствовсеми $\alpha$ состоит из некоторых элементов из , которые обращаются в нуль под действием линейного преобразования.

Теорема 1.3 (теорема размерности):ПредполагатьдаЛинейное преобразование в пространстве измерений, тогда

Матрица линейных преобразований

Подпространство, образованное всеми линейными преобразованиями выше, является относительно абстрактным пространством.Мы знаем некоторые конкретные линейные преобразования, но как выглядит любое линейное преобразование и как его выразить?

Предполагать $\alpha \in V$ ,

\alpha = \sum_{i=1}^{n} k_{i}\alpha_{i}=\left( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \left(\begin{array}{c}{k_{1}} \\ {k_{2}} \\ {\vdots} \\ {k_{n}}\end{array} \right)

T\alpha=\left( T \alpha_{1},T \alpha_{2}, \cdots, T \alpha_{n}\right) \left(\begin{array}{c}{k_{1}} \\ {k_{2}} \\ {\vdots} \\ {k_{n}}\end{array} \right)

Видно, что результат линейного преобразования определяет:

— это форма, которую принимает основание при этом линейном преобразовании.

так как $T\alpha_{1}，T\alpha_{2} \cdots ,T\alpha_{n}$ ,все ещеэлементы в , конечно могут бытьБазовое выражение:

\left\{\begin{array}{l}{T \boldsymbol{\alpha}_{1}=a_{11} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots+a_{n 1} \boldsymbol{\alpha}_{n}} \\ {T \boldsymbol{\alpha}_{2}=a_{12} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_{n 2} \boldsymbol{\alpha}_{n}} \\ {\vdots} \\ {T \boldsymbol{\alpha}_{n}=a_{1 n} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots+a_{n n} \boldsymbol{\alpha}_{n}}\end{array}\right.

$A=(a_{ij})_{n\times n}$ является линейным преобразованиемна базе $\alpha_{1}，\cdots，\alpha_{n}$ матрица ниже.

Виден каждыйЛинейное преобразование фактически соответствует матрице, в свою очередь, каждой матрице также соответствует линейное преобразование, т. е. задана матрица, просто определите:

\left( T \alpha_{1},T \alpha_{2}, \cdots, T \alpha_{n}\right)=(\alpha_{1}，\alpha_{2}，\cdots，\alpha_{n})A

, то эта матрица соответствует линейному преобразованию.