Математическое моделирование рассматривается в конце семестра, и с целью подведения итогов пишется блог.В основном основное внимание уделяется построению модели примера и реализации части кода.Читатели могут исправить недостатки.

Использование набора инструментов дифференциального решения Matlab

• решать численно

dsolve('уравнение 1','уравнение 2',...,'уравнение n','начальные условия','независимые переменные')

• Аналитическое решение

[t, x] = решатель ('f', ts, x0, параметры)

Для получения подробных инструкций, пожалуйста, обратитесь к сообщению в блогеРешение дифференциальных уравнений Matlab

Ракетная проблема

Введение проблемы

• Предположим, что корабль А в начале координат запускает ракеты по кораблю В в точке А(1, 0) по оси абсцисс, а головная часть ракеты всегда нацелена на корабль В. Если корабль В движется с максимальной скоростью$v_0$(Постоянная) При движении по прямой линии, параллельной оси Y, скорость ракеты равна 5$v_0$, найти уравнение кривой работы ракеты. Какое расстояние пройдет корабль Б, прежде чем в него попадет ракета?

Построение модели и решение

1. Аналитический метод

Установление модели: пусть положение ракеты в момент времени t равно P(x(t), y(t)), а корабль B находится в точке Q(1,$V_0t$), из вопроса (головка ракеты всегда направлена ​​на корабль Б), касательная ракеты в точке p дуги движения$y^{\prime}=\frac{v_{0} t-y}{1-x}$который$v_{0} t=(1-x) y^{\prime}+y(1)$А из смысла названия (скорость ракеты в 5 раз больше скорости корабля) есть:$\int_0^x {\sqrt {1 + y{'^2}} } {\rm{d}}x = 5{v_0}t (2)$Имеются уравнения (1) и (2), дифференциально-дифференциальное уравнение можно получить в виде:$(1-x) y^{\prime \prime}=\frac{1}{5}\sqrt{1+y^{\prime2}} (3)$Уравнение начального значения:$y(0) = 0$,$y'(0) = 0$, который может быть решен Matlab:$y = - \frac{5}{8}{(1 - x)^{\frac{4}{5}}} + \frac{5}{{12}}{(1 - x)^{\frac{6}{5}}} + \frac{5}{{24}}$

2. Численное решение

Преобразуя приведенное выше уравнение в уравнение первого порядка, мы можем установить$y_1=y,y_2=y'$, подставляя в (3), чтобы получить$\left\{\begin{array}{l}y_{1}^{\prime}=y_{2} \\ y_{2}^{\prime}=\frac{1}{5} \sqrt{1+y_{1}^{2}} /(1-x)\end{array}\right.$Решить с помощью Matlab:

%定义函数
function dy=eq1(x,y)
    dy=zeros(2,1);
    dy(1)=y(2);
    dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);
end

调用
x0=0;
xf=0.9999;
[x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]);
plot(x,y(:,1),'-') 
hold on
y=0:0．01:2;
plot(1,y,'*')

Как видно из рисунка, ракета попала в Корабль Б примерно в точку (1,0,2).

3. Параметрическое уравнение

Полагая, что вышеуказанный вывод остается неизменным, на этом основании скорость ракеты устанавливается равной$w$, то в точке P находятся:${({{{\rm{d}}x} \over {{\rm{d}}t}})^2} + {({{{\rm{d}}y} \over {{\rm {д}}т}})^2} = {ш^2}(1)$При этом ракета всегда нацелена на Корабль Б, то есть вектор скорости ракеты параллелен вектору положения Корабля Б, поэтому имеются: