Обзор математики машинного обучения с примерами - 1. События и вероятности

Различные концепции вероятности, полученные в результате эксперимента с игральными костями

1. Бросьте кости, вероятность выпадения 6$\frac{1}{6}$, бросать кости,Число известных вхождений четно, вероятность появления 6 равна$\frac{1}{3}$, эта вероятностьУсловная возможность.

2.Условная возможностьДля: предположим, что мы знаем, что событие А произошло, и на этой основе мы хотим знать вероятность наступления события В. Эта вероятность является условной вероятностью, обозначаемой как$P(B|A)$

3.Классическая вероятностная модель: Предположим, эксперимент с$\Omega$равновероятные исходы, событие A содержит$X$результаты, событие B содержит$Y$результат,$Z$Представляет события, которые пересекаются:

Вероятность наступления события А:$P(A) = \frac{X}{\Omega}$; вероятность наступления события B:$P(B) = \frac{Y}{\Omega}$; вероятность того, что произойдут оба события А и В:$P(AB) = \frac{Z}{\Omega}$Если событие А уже произошло, то вероятность того, что событие В также произошло, равна$P(B|A) = \frac{Z}{X}$, разверните формулу: Эта формула является формулой условной вероятности

4. Если условная вероятность$P(B|A)$больше, чем$P(B)$, что означает, что наступление события A будет способствовать наступлению события B, как в приведенном выше примере с броском игральной кости. Вы также можете увидеть картинку ниже, саму$P(B)$Вероятность события B относительно мала.В случае, если событие A произошло, вероятность наступления события B также увеличивается из-за большого количества пересекающихся частей:

5. Если условная вероятность$P(B|A)$меньше, чем$P(B)$, что означает, что событие A не будет способствовать наступлению события B. Например, событие A означает, что количество бросков костей четное, а событие B означает, что количество бросков костей меньше 4. Вероятность обоих событий А и событие В происходят$1/2$, вероятность того, что события А и В произойдут одновременно, равна$1/6$,Условная возможность$P(B|A)$за$1/3$. Вы также можете увидеть картинку ниже, саму$P(B)$Вероятность относительно велика.В случае, если произошло событие А, вероятность наступления события В уменьшается из-за меньшего количества пересечений:

6. Если условная вероятность$P(B|A)$Он равен 0, а это означает, что событие А и событие В совершенно не пересекаются, то есть если событие А происходит, то событие В не должно произойти, а событие А и событие В не пересекаются.Несовместимые события,иливзаимоисключающие события. Как показано ниже:

7. Возможны также условные вероятности$P(B|A)$равный$P(B)$, в этом случае появление событий А и В на самом деле не связано друг с другом.Например, есть две кости.Событие А — это игра на кости 1, на которой выпало число 6, а событие В — это игра на кости 2, на которой выпало число 6. число 2. Произойдут событие A и событие B. Вероятность равна$1/6$, то вероятность того, что события А и В произойдут одновременно, равна$\frac{1}{36}$,Условная возможность$P(B|A)$равный$\frac{1}{6}$, мы обычно называем это независимым событием. Как показано ниже:

Формула полной вероятности и экспериментальная проверка игры в кости

Предположим, есть$A_1,A_2,...,A_n$Эти взаимоисключающие события охватывают все возможные исходы эксперимента:

это$P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n) = 1$. Возьмем, к примеру, игральные кости, на самом деле они подбрасываются один раз, и выпадает 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.

Предположим, что есть другое событие B, представленное классической вероятностью, как показано на рисунке:

Вероятность события В, которую можно определить по событию В в$A_1,A_2,...,A_n$Рассчитываются условные вероятности на эти взаимоисключающие события и вероятности этих событий, формула полной вероятности:

Например, событие Б — бросок четного числа игральных костей.$P(B) = \frac{1}{2}$,$P(A_{Points=1})P(B|A_{Points=1}) + P(A_{Points=2})P(B|A_{Points=2}) + P(A_{Points=3} )P(B|A_{Очки=3}) + P(A_{Очки=4})P(B|A_{Очки=4}) + P(A_{Очки=5})P(B|A_{Очки =5}) + P(A_{points=6})P(B|A_{points=6}) = \frac{1}{6} * 0 + \frac{1}{6} * 1 + \frac {1}{6} * 0 + \frac{1}{6} * 1 + \frac{1}{6} * 0 + \frac{1}{6} * 1 = \frac{1}{2}$

Использование формулы полной вероятности: футбольный прогноз

Смысл формулы полной вероятности состоит в том, что в большинстве случаев мыТрудно напрямую вывести вероятность события B, как в эксперименте с игрой в кости.Да, нам нужно ограничить выборочное пространство событий и абстрагировать события от существующих выборок.$A_1,A_2,...,A_n$, а заодно посчитаем вероятности появления B на этих событиях, и в итоге получим вероятность события B.

Например, чтобы предположить вероятность того, что британская команда выиграет у немецкой команды в этом Кубке европейских чемпионов, мы можем оценить голы британской команды с помощью исторических игровых данных (таких как данные последних игр Кубка европейских чемпионов и данные две команды друг против друга) Вероятность того, что числа равны 0, 1, 2, 3, 4, 5..., вероятность того, что немецкая команда забьет 0, 1, 2, 3, 4, 5..., гдеГолы Англии больше, чем вероятность победы Германии. Это приложение формулы полной вероятности.

от причины к следствию и от следствия к причине

Формула полной вероятности:Вывод от причины к следствию, типичным примером является упомянутое выше предположение о вероятности победы британской команды над немецкой командой в этом еврокубке. Основываясь на данных прошлых игр, мы можем рассчитать среднее количество голов, забитых британской командой и немецкой командой Вероятность забитого гола в целом соответствуетраспределение Пуассона(Мы упомянем об этом позже и будем использовать этот пример для подробного анализа), согласнораспределение Пуассона, мы можем получить вероятность того, что британская команда и немецкая команда забьют n, полагая, что средний результат британской команды равен 1,67, а средний результат немецкой команды равен 1,52 (мы рассматриваем только ситуацию, когда количество голов это 4):

команда	0 голов	1 гол	2 гола	3 гола	4 гола
Великобритания	0.1882	0.3144	0.2625	0.1461	0.061
Германия	0.2187	0.3324	0.2527	0.128	0.0486

Предположение$P(A_0)$Вероятность забить 0 голов за Англию и так далее:

Предположение$P(B)$есть вероятность победы британской команды по формуле полной вероятности:

Однако в реальных проблемах мы часто сталкиваемся с проблемой установления причины, например, когда мы проводим физикальное обследование и обнаруживаем полип желчного пузыря, вызван ли он опухолью, холестерином или другими причинами? Это требует, чтобы мы предположили причину образования этого результата. Это ведет кбайесовская формула

Понимание априорных и апостериорных вероятностей на примере футбольного прогноза

Прежде чем упомянуть формулу Байеса, давайте проясним два понятия,Априорная вероятностьиАпостериорная вероятность.

Априорная вероятностьОбычно она получается опытным путем, то есть на основе исторически собранных данных без каких-либо ограничений получается эмпирическая вероятность. Вероятность количества голов, забитых двумя командами, полученная из исторических данных игры, упомянутых в приведенном выше примере, равнаАприорная вероятность. В это время предположим, что игра начинается, а затем происходит событие.Защитник немецкой команды ошибся, а Кейн забил гол британской команды.В это время нам нужно пересчитать вероятность количества голов, забитых двумя команды в соответствии с этой предпосылкой. ЭтоАпостериорная вероятность.

Априорная вероятностьТо есть эмпирическая вероятность, которая полностью выводится из исторических данных без вероятности какой-либо предпосылки, которая имела место.Апостериорная вероятностьто есть наблюдение явления требуетАприорная вероятностьВероятность исправления. Можно просто понять, что до начала игры предполагаемая вероятность, как правило, является априорной вероятностью.После начала игры, после появления красных и желтых карточек, пенальти, голов, замен и т. д. вероятность корректируется после вероятность получена тестовая вероятность.

Формула Байеса и причина образования полипов желчного пузыря

Предположим, что есть события А и В, тогда:

Это формула Байеса, мы объединяем формулу полной вероятности, предполагая, что наше событие$A_1, A_2, ..., A_n$Эти взаимоисключающие события составляют полный набор выборочного пространства, а именно:

Возьмем в качестве примера причину образования полипов желчного пузыря.Пусть посчитаем, что в выборке из миллиона пациентов в определенной больнице у 8% есть опухоли, а у 20% из них обнаружены полипы желчного пузыря, а у лиц с симптомами высокий уровень холестерина у 80% людей, из которых у 40% обнаружены полипы желчного пузыря, а у 30% из оставшихся 12% обнаружены полипы желчного пузыря. Предположение$A_1$за опухоль,$A_2$для холестерина,$A_3$для других.$B$При полипах желчного пузыря. Тогда вероятность того, что полип желчного пузыря является опухолью, равна: