Сегодня задача разобраться с преобразованием координат, простое исследование.

Локальная система координат в глобальную систему координат

Принцип заключается в следующем: 在这里插入图片描述 На рисунке мировая система координат $(X, Y, Z)$ , местная система координат $(X', Y', Z')$ , начало локальной системы координат $O'$ . Баллы для конвертации $P$ .

OP =x*i+y*j+z*k \\ OO'=a*i+b*j+c*k

Соответствие осей координат

\left\{\begin{matrix} i'=u_{11}*i+u_{12}*j+u_{13}*k \\ j'=u_{21}*i+u_{22}*j+u_{22}*k \\ k'=u_{31}*i+u_{32}*j+u_{33}*k \end{matrix}\right.

Одновременная формула

O'P=x'*i'+y'*j'+z'*k'\\ = \quad x'*(u_{11}*i+u_{12}*j+u_{13}*k) \\ \quad +y'*(u_{21}*i+u_{22}*j+u_{22}*k) \\ \quad +z'*(u_{31}*i+u_{32}*j+u_{33}*k) \\ = \quad (u_{11}*x'+u_{21}*y'+u_{31}*z')*i \\ \quad + (u_{12}*x'+u_{22}*y'+u_{32}*z')*j \\ \quad + (u_{13}*x'+u_{23}*y'+u_{33}*z')*k

$OP=OO'+O'P$ ,тогда

\left\{\begin{matrix} x=a+u_{11}*x'+u_{21}*y'+u_{31}*z'\\ y=b+u_{12}*x'+u_{22}*y'+u_{32}*z'\\ z=c+u_{13}*x'+u_{23}*y'+u_{33}*z' \end{matrix}\right.

конверсионные отношения

\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix} * W

наконец получить матрицу

W= \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & 0\\ u_{21} & u_{22} & u_{23} & 0\\ u_{31} & u_{32} & u_{33} & 0\\ a & b & c & 1 \end{bmatrix}

Глобальная система координат в локальную систему координат

так как

\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix} * W

Так

\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} * W^{-1} = \begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix}

наблюдаемый

W= \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & 0\\ u_{21} & u_{22} & u_{23} & 0\\ u_{31} & u_{32} & u_{33} & 0\\ a & b & c & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & 0\\ u_{21} & u_{22} & u_{23} & 0\\ u_{31} & u_{32} & u_{33} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ a & b & c & 1 \end{bmatrix} =R \cdot T

в, $R$ матрица вращения, $T$ матрица перевода Так

W^{-1}= (R\cdot T)^{-1} = T^{-1}*R^{-1}

T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -a & -b & -c & 1 \end{bmatrix}

если $R$ положительно определенная матрица, т. $R \cdot R^{-1} = E$ . Так

R^{-1}=R^{T}= \begin{bmatrix} u_{11} & u_{21} & u_{31} & 0\\ u_{12} & u_{22} & u_{32} & 0\\ u_{13} & u_{23} & u_{33} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

непосредственно вычисляемый $W^{-1}$ .

но если $R$ Это не положительно определенная квадратная матрица, т. е. оси координат локальной системы координат не перпендикулярны друг другу в правой системе, тогда все равно прямо обратно получить $W^{-1}$ .