Продвинутая математика - подробное объяснение закона Л'Хубиды

Эта статья возникла из личного публичного аккаунта:TechFlow, оригинальность это не просто, прошу внимания

Сегодня я рассмотрю с вами закон половых губ, который очень важен и появляется при решении многих проблем. Хотя прошло много лет, многие очки знаний возвращены учителю, но я до сих пор помню страстное появление старшего учителя математики на подиуме, когда я был первокурсником.

В прошлой статье мы рассмотрели дифференциальную теорему о среднем значении Закон Лхобиты, который будет обсуждаться сегодня, на самом деле является классическим применением дифференциальной теоремы о среднем значении. Поэтому учащиеся, которые забыли или недавно заинтересовались, могут щелкнуть ссылку ниже, чтобы просмотреть содержание предыдущей статьи.

Продвинутая математика — теорема о дифференциальном среднем значении

полезность

Цель нашего обучения часто очень проста, то есть применить то, что мы узнали. Раньше я всегда чувствовал, что эта идея была немного реалистичной. Позже я обнаружил, что многие знания, которые я узнал и не мог использовать, были почти забыт. Таким образом, хотя наш менталитет должен быть отложен в сторону, мы можем быть более практичными в работе.Начните сначала с полезности, и, возможно, мы сможем лучше ее понять.

Сценарий применения Закона Л'Хубиды очень прост, то есть он может решить некоторые предельные задачи, которые невозможно решить сразу. Не знаю, замечали ли вы, что в какой бы сфере вы ни работали, всегда есть какие-то проблемы, которые невозможно решить сразу. Наряду с исследованиями по этим вопросам наши технологии и теории постоянно совершенствуются, работа постоянно упрощается, а эффективность становится все выше и выше. Будь то прорыв в определенной области математики или итерация и эволюция определенных инструментов в компьютере, дело обстоит именно так.

Мы упоминали пример в нашей предыдущей статье о лимитах:

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}

В этой задаче, поскольку x стремится к 0, $\sin x$ и x стремятся к 0. Нам нужно вычислить результат деления 0 на 0. Чтобы решить эту проблему, мы использовали метод щипка и масштабировали его, чтобы получить предел. Подобных пределов много, по сути, проблема в том, что когда и числитель, и знаменатель стремятся к 0, нам сложно вычислить результат.

Например $\frac{x}{x^2}$ , эта задача очень проста, пока выполняется приведение, то $\frac{1}{x}$ Предел , когда x стремится к 0, очевидно $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности. Но что, если они не согласятся? Это проблема деления предела 0 на предел 0. В отличие от приведенного выше результата, отношение результата бесконечно.

Закон Л'Опита был разработан для решения этих предельных проблем.

определение

Суть закона Лопиты состоит в теореме, утверждающей, что если $\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}$ предел, если он удовлетворяет:

При стремлении x к константе a функцияистремиться к 0
В децентрированном районе точки аиПроизводные обоих существуют, и $F'(x) \neq 0$
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{F'(x)}$ существует

Так:

\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}

То есть, когда переменная стремится стать константой, если существует производная функций числителя и знаменателя, то мы можем использовать предельное отношение производной, чтобы заменить отношение исходной функции.

Попробуем доказать эту теорему, которую очень просто доказать, если вспомнить дифференциальную теорему о среднем значении. Попробуем доказать.

доказывать

Так как функция дифференцируема в децентрированной окрестности точки а, т. е. функция непрерывна в децентрированной окрестности этой точки а. Затем мы применяем теорему Коши о среднем значении, когда x стремится к a, мы можем найти точку в интервале (a, x) $\xi$ , такой что:

\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}

Здесь немного хуже, потому что одним условием меньше, объяснение в книге состоит в том, что, поскольку предел отношения функции не зависит от значения функции, можно считать, что f(a) и F(a) равны равно 0. Я лично считаю, что это немного недобро, точно так же, как писать легкое доказательство и легкий доступ в процессе доказательства. На самом деле нам нужно только провести разницу между этими двумя и доказать, что разница равна 0.

\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}-\frac{f(x)}{F(x)}

После прохождения балла можно получить:

На данный момент нетрудно увидеть, что когда x стремится к a, указанная выше разница стремится к 0, поэтому:

\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}=\frac{f(x)}{F(x)}

Поскольку x стремится к a, $\xi$ также стремится к a, то получаем:

пытаться

После того, как мы изучим закон Лхобиты, мы сможем использовать его для решения некоторых из более сложных задач с ограничениями. Например, пример, который мы только что привели, больше не является проблемой.

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1

Давайте посмотрим еще на один:

\lim_{x\to 1}\frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 -x +1}=\lim_{x\to 1}\frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x -1}

Мы все еще не можем получить результат здесь, кажется, он застрял. Но не волнуйтесь, закон Л'Хубиды может быть вложенным. Причина проста, пока мы ставим f'(x) выглядеть новым f(x) , F'(x) выглядеть новым F(x) , то мы можем продолжать использовать закон Лхобиты. То есть мы можем получить:

\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}=\frac{f''(x)}{F''(x)}

Конечно, использование вложенности также имеет предпосылку, предпосылку в том, что вторая производная существует, и $F''(x)\neq 0$ . Точно так же мы можем продолжать вложение до тех пор, пока существуют высшие производные и знаменатель не равен 0. Поэтому закон Л'Хубиды также можно назвать правилом матрешки [собачьей головы]. После того, как у нас есть матрешка, проблема проста, нам нужно только записать вышеуказанную проблему:

\lim_{x\to 1}\frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x -1}=\lim_{x\to 1}\frac{6x}{6x - 2}=\frac{3}{2}

деформация

Помимо матрешек, существует известная вариация закона Лопиды. Все категории использования, обсуждавшиеся выше, действуют при условии, что х стремится к константе Фактически, в некоторых особых случаях, когда х стремится к положительной бесконечности, мы также можем применить правило Лхобиты. Как и в базовой версии, функции f(x) и F(x) также должны удовлетворять некоторым условиям:

Когда x стремится к положительной бесконечности, f(x) и F(x) одновременно стремятся к 0 или бесконечности.
N существует такое, что при |x|>N существуют и f'(x), и F'(x), и F'(x) не равно 0
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}$ существует

Давайте посмотрим на пример: $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\ln x}{x^2}$

Мы видим, что когда x стремится к бесконечности, и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности. Таким образом, мы можем использовать закон Лхобиты:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x^2}=0

Суммировать

Закон Лабида очень важен для больших чисел, особенно при расчете пределов.Многие, казалось бы, неудобные пределы могут быть намного проще после преобразования по закону Лабида.

Но ограничения на использование закона Лопиды могут показаться неприятными, но нам нужно помнить только два момента. Первый момент заключается в том, что независимо от того, к какому значению x стремится, пока числитель и знаменатель стремятся к 0 или бесконечности одновременно, и производная существует, а производная знаменателя не равна 0. То есть, если пределы числителя и знаменателя не равны одновременно нулю или бесконечности, то закон Лопиты использовать нельзя. Этот момент необходимо иметь в виду, так как в процессе многократного использования правила Лопиды очень вероятно, что числитель и знаменатель не удовлетворяют этому условию, и мы должны иметь это в виду при использовании.

На сегодняшней статье все, если вы чувствуете, что что-то приобрели, пожалуйста, следуйте ей.Отсканируйте код и обратите вниманиеЧто ж, твое маленькое усилие много значит для меня.

использованная литература

Википедия
Продвинутая математика (издательство Шанхайского университета Цзяотун)
математика для программистов