Продвинутая математика - теорема о среднем значении интегралов

Эта статья взята из личного паблика: TechFlow, оригинальность непроста, прошу внимания

СегодняЧасть 12 специальных тем высшей математики, перейдем к определенному интегралу.

Когда я ранее говорил о содержании дифференциального вывода, я представил ряд выводов дифференциальной теоремы о медиане. Раз есть дифференциальная теорема о медиане, то есть и интегральная теорема о медиане, рассмотрим ее ниже.Интегральная теорема о медианеОпределение.

теорема об экстремальном значении

теорема об экстремальном значениитеорема о максимальном минимуме, его смысл очень интуитивен: если функция f(x) является непрерывной функцией на отрезке [a, b], то должно быть максимальное и минимальное значение, причем максимальное и минимальное значения берутся хотя бы один раз .

Это очень известная теорема, и содержание теоремы интуитивно понятно и нетрудно для понимания. Однако доказать это нелегко. Это вытекает из нескольких теорем, таких как теорема о множестве интервалов и теорема BM. Процесс доказательства относительно сложен. Из-за ограничений места и уровня эту часть можно пропустить только в эта статья Заинтересованные студенты Вы можете понять сами.

Предположим, что m и M — минимальное и максимальное значения функции f(x) на интервале [a, b] соответственно, тогда по теореме об экстремальном значении можно получить следующую формулу:

Эта формула может показаться немного сложной, но после того, как мы нарисуем картинку, она станет очень простой:

Часть, заштрихованная серым цветом на приведенном выше рисунке, является результатом определенного интеграла, площадь синего прямоугольника равна m(b-a), а площадь большого прямоугольника равна M(b-a).

пройти черезотношение геометрической площадиМы можем легко доказать вывод.

Математическое доказательство также простое, так как m и M — минимальное и максимальное значения соответственно, мы можем получить. Мы рассматриваем константу как функцию и интегрируем ее, поэтому мы можем получить:

Результат интегрирования обеих сторон — это площадь прямоугольника, так что у нас есть доказательство.

Интегральная теорема о медиане

Теорема об экстремальном значении очень проста, но она лежит в основе многих теорем, таких как наша интегральная теорема о среднем значении, которая тесно с ней связана.

Сделаем простую модификацию вышеприведенной формулы, так как b-a постоянна и больше 0, поэтому мы вРазделив обе части этого неравенства на b-a, мы получим:

мы кладемЭта формула рассматривается как единое целое, и ее значение лежит между максимальным и минимальным значениями функции на интервале. в соответствии сТеорема о промежуточном значении для непрерывных функций, мы должны найти точку на [a, b], так что f(x) естьЗначение этой точки равно этому значению, то есть:

Вышеприведенная формула является интегральной теоремой о медиане.Здесь следует отметить два момента.Давайте начнем с простой точки, то есть мы используем теорему о промежуточном значении непрерывных функций. Так квалифицируется, что это должно бытьНепрерывная функция, иначе функция может просто находиться вТочка не определена. Это также необходимое условие для установления теоремы.

Второй момент состоит в том, чтобы кратко ввести теорему о промежуточном значении непрерывных функций, которая означает, что для непрерывной функции в интервале [a, b] для любой константы между ее максимальным и минимальным значениями мы должны найти точку на интервал [a, b] такой, что значение функции в этой точке равно этой константе.

Разобравшись с этими деталями, давайте прямо сейчас посмотрим на формулу:

Давайте снова умножим константу:

Что вычисляет интеграл справа?Он вычисляет площадь кривой, ограниченной функцией, но теперь мы преобразуем его в значение функции, умноженное на ширину, поэтому мы можем думать об этом как о высоте прямоугольника, давайте посмотрим на картинку ниже.

То есть сПлощадь прямоугольника для высоты равна площади кривой, очерченной функцией, так что это и высота прямоугольника, и действительно среднее значение функции по [a, b].

Суммировать

Теорема о среднем значении является наиболее важной теоремой в области исчисления. Мы знакомы с процессом вывода теоремы о среднем значении, что очень помогает нам углубить наше понимание исчисления. Что еще более важно, условно говоря, процесс вывода этих двух теорем не сложен и довольно интересен, поэтому всем рекомендуется попробовать его на себе.

На сегодняшней статье все. Если вы чувствуете, что что-то приобрели, пожалуйста, нажмитеПодпишитесь или сделайте ретвитЧто ж, твое маленькое усилие много значит для меня.