Продвинутая математика — неопределенный интеграл в исчислении

Эта статья возникла из личного публичного аккаунта:TechFlow, оригинальность это не просто, прошу внимания

СегодняЧасть 8 специальных тем высшей математикиСтатья, сегодняшнее содержание является неопределенно целостной.

Мой предыдущий учитель высшей математики однажды сказал, что высшая математика — это в основном исчисление плюс некоторое знание последовательности и предела. Среди исчисления интегральная корреляция занимает большую часть страны. Исчисление важно не из-за его удельного веса и емкости, а потому, что оноОбычно используется. Почти во всех учебниках по естествознанию и технике есть математические формулы, и причина очень проста: когда эти ученые изучали неизвестные вещи или выполняли вычисления, они часто использовали исчисление как инструмент. Вот почему мы должны учиться этому.

Примитивный

Я всегда думал, что исчисление - хорошее название,Исчисление представляет собой комбинацию дифференцирования и интегрирования. Дифференциация – это изучение микро через макро, а интеграция наоборот, и макро получается через микро. Таким образом, в некотором смысле мы можем думать об интеграции как об обратной стороне дифференцирования.

Дифференциация соответствует пределу, и в функции мы переходим $\Delta x$ Близко к 0, чтобы изучить изменение функции. когда $\Delta x$ Когда он стремится к 0, скорость изменения функции, которую мы получаем, является производной функции, которая также является источником формулы производной:

\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Мы смотрим на интеграцию с точки зрения дифференциации, что означает, что мы думаем об обратном процессе. Если мы говорим, что полученная производная равна f'(x) , то какой будет функция f(x) до вывода? В этой задаче функция перед производной называетсяПримитивный, мы пишем F(x), если F(x) — исходная функция f(x), то она должна удовлетворять для любого $x \in I$ , оба F'(x) = f(x) .

например потому что f(x) = x^2 Производная равна 2x, поэтому x^2 является исходной функцией 2x.

Мы знаем связь между функцией и исходной функцией, но для того, чтобы быть строгими, нам все же нужно подумать над вопросом,Существует ли исходная функция??

Этот вопрос кажется сложным, но на самом деле в нем легко разобраться.Если функция непрерывна, то исходная функция должна существовать. В книге больших чисел сказано, что это теорема существования исходной функции, но нет даже фразы, доказывающей ее, и можно предположить, что она в основном рассматривалась как аксиома. Кратко проанализируем, например, функция f(x) непрерывна, то есть производная исходной функции существует и непрерывна. Мы знаем, что непрерывность не обязательно выводима, но вывод должен быть непрерывным. Теперь, когда производная функция существует и непрерывна, это означает, что исходная функция должна быть непрерывной. Как она может быть непрерывной, если функция не существует? Следовательно, текущая функция f(x) непрерывна, что указывает на то, что ее исходная функция F(x) должна существовать.

неопределенный интеграл

После того, как мы поняли исходную функцию, мы можем приступить к содержанию неопределенного интеграла. На самом деле неопределенный интеграл не имеет никакого вычислительного содержания, я думаю, что это больше похоже на отображение. Сопоставьте текущую функцию с исходной функцией.

Другими словами, мы используем текущую функцию f(x), чтобы найти исходную функцию F(x), такую, что: F'(x) = f(x) , запишем этот процесс в обратном порядке, а именно:

Эта формула на самом делеОбратная операция производной, там вообще нет технического содержания, это надо уметь понимать. А теперь давайте зададим вопрос: определена ли для некоторой функции f(x) ее исходная функция?

Как наш пример только что f(x) = 2x , то его исходная функция всего лишь F(x) = x^2 ?

Ответ очевиден,нет. По желанию можно привести еще одну оригинальную функцию: F(x) = x^2 + 3 , Точно так же мы заменяем следующие константы другими значениями, которые являются допустимыми исходными функциями. Таким образом, мы можем знать, что исходная функция бесконечна, с той лишь разницей, что последняя константа отличается. Другими словами, исходная функция неопределенна из-за существования этой константы, которая также находится в неопределенном интеграле».неопределенный«Происхождение двух слов.

простой характер

Из определения неопределенных интегралов мы можем вывести некоторые простые свойства. Давайте сначала посмотрим на первое свойство, самое простое:

Это доказательство очень простое, мы можем напрямую продифференцировать исходную формулу:

[\int k f(x)dx]' = k\cdot f(x) = [k\int f(x)dx]'

Есть еще одно не менее простое свойство:

\int [f(x)dx + g(x)dx] = \int f(x)dx + \int g(x)dx

Метод доказательства тот же, что и раньше,прямое происхождениеВот и все.

Ну вот и все о свойствах неопределенных интегралов. Вы спросите, почему в свойствах нет свойств для умножения и деления? Меня тоже интересовал этот вопрос, потому что во всех проверенных мною материалах нет соответствующей формулы. Я пытался вывести это сам, но безрезультатно. Конечно, дело не в том, что математики ленивы или не могут разобраться, наверное, это слишком сложно, поэтому не очень практично.

Таблица основных очков

Наконец, давайте взглянем на базовую интегральную таблицу неопределенных интегралов, которую нам удобно запрашивать при вычислении.

\begin{aligned} \int kdx &= kx+C \\ \int x^{\mu}dx &= \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C \\ \int \frac{dx}{x} &= \ln|x| + C \\ \int \frac{dx}{1+x^2} &= \arctan x + C\\ \int \frac{dx}{1-x^2} &= \arcsin x + C\\ \int \cos x dx &= \sin x + C\\ \int \sin x dx &= -\cos x + C\\ \int \frac{dx}{\cos^2x}&=\int \sec^2x dx = \tan x + C \\ \int \frac{dx}{\sin^2 x} &= \int \csc^2 x dx = -\cot x + C\\ \int \sec x \tan x dx &= \sec x + C\\ \int \csc x \cot x dx &= -\csc x + C\\ \int e^xdx &= e^x + C\\ \int a^x dx &= \frac{a^x}{\ln a} + C \end{aligned}

Содержание самого неопределенного интеграла настолько велико, что его нетрудно понять. Однако в реальном процессе решения проблем все еще есть некоторые навыки решения проблем, которыми мы поделимся с вами из-за нехватки места в следующей статье.

На сегодняшней статье все. Если вы чувствуете, что что-то приобрели, пожалуйста, нажмитеПодпишитесь или сделайте ретвитЧто ж, твое маленькое усилие много значит для меня.