Продвинутая математика — простое и интуитивное понимание определенных интегралов

Эта статья взята из личного паблика: TechFlow, оригинальность непроста, прошу внимания

СегодняПродвинутая математика 11В этой статье давайте рассмотрим соответствующее содержание определенных интегралов.

Для многих людей содержание определенных точек фактически было затронуто в старшей школе, например, в школьной физике мы часто используем метод, называемый ""Метод микроэлементов«Метод решения некоторых физических задач. Но на самом деле так называемый «метод элементов» по сути является методом исчисления. Давайте рассмотрим два простых примера.

Примеры дифференциации и интеграции

Первый примеррасчет площади сектора, Не спешите смеяться, я знаю, что это содержание средней школы. Кто знает площадь сектора, площадь сектора равна площади круга умноженной на центральный угол.

Все мы знаем площадь круга $S=\pi r^2$ , если это веер, плюс центральный угол используемРадианная системаЧтобы представить центральный угол, вы можете напрямую рассчитать: $S=\pi r^2 \theta$ .

Есть ли другой способ, кроме этого?

Конечно есть, давайте посмотрим на следующую картинку:

На картинке ниже начинаем с сектораотрезать небольшой кусочек, образуя прямоугольный треугольник. Сделаем этот прямоугольный треугольник бесконечно узким, тогда его площадь можно будет аппроксимировать площадью этого маленького сектора.

Площадь прямоугольного треугольника очень проста, мы все ее посчитаем, пусть длина короткого прямого угла будет l. Тогда площадь этого маленького треугольника равна $\frac{1}{2}lr$ .

Мы делаем это, мы можемРазделите этот сектор на бесконечное количество таких маленьких треугольников, и, наконец, складываем все площади этих маленьких треугольников, чтобы получить площадь сектора. Поскольку l стремится к 0, предел разности площадей каждого малого треугольника и малого сектора равен 0, поэтому их можно приблизительно считать равными.

После этого мы можем заменить площадь сектора на площадь бесконечного числа маленьких треугольников. Площадь этих маленьких треугольников равна $\frac{1}{2}lr$ . Их накопление, по сути, означает накопление всех этих коротких сторон. Так что очевидно,Результат сложения всех этих коротких сторон и есть длина дуги сектора.

Предположим, что длина дуги этого сектора равна L, тогда площадь всего сектора также можно выразить как $\frac{1}{2}rL$ .

Мы можем просто проверить, что полный круг также можно рассматривать как сектор. Полный круг, длина его дуги или длина окружности $2\pi r$ . Подставляем формулу только сейчас, и результат согласуется с формулой площади круга, значит наш расчет верен.

В этом примере каждый маленький треугольник, разделенный на сектор, одинаков, поэтому мы можем напрямую накапливать. Если результат нашей дифференциации уже не постоянный, а переменный, что нам делать?

Давайте посмотрим на другой пример:

Например, если мы спросим площадь изогнутого прямоугольника, заключенного в точки a и b, мы также можемразделить прямоугольник. Вместо этого мы можем бесконечно разделить его на несколько небольших прямоугольных областей. Мы можем легко доказать, что когда $\Delta x$ Когда оно стремится к 0, площадь этого маленького прямоугольника равна площади изогнутого прямоугольника. Таким образом, мы можем разделить его на бесконечное количество таких прямоугольников, а затем просуммировать все площади, чтобы получить площадь, ограниченную кривой.

Для каждого прямоугольника их ширина равна $\Delta x$ , но их высота не одинакова. Но легко увидеть, чтоИх высоты являются значениями функции некоторой координаты в интервале. На самом деле мы можем выписать значения этих последовательностей, они такие: a, a+ $\Delta x$ , a + 2 $\Delta x$ , ..., б.

Для удобства записи примем эту последовательность равной $\{\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\}$

Таким образом, площадь, ограниченная кривой, может быть записана как:

S_{c}=\lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x

Определение определенного интеграла

Давайте посмотрим на вышеприведенную задачу.На самом деле мы знаем много информации.Например, мы знаем функцию f(x), а также знаем значения a и b.Кажется, что мы очень близки к результат. Верно, но прежде чем мы двинемся дальше, мы должны четко понимать, что мыЭто предположение основано на.

Самая большая и скрытая предпосылка - это разделение, которое мы делаем. Мы должны обеспечить два момента. Во-первых, мы должны убедиться, что когда $\Delta x$ При стремлении к 0,Определяется предел высоты прямоугольника. И предел суммы площадей этих маленьких прямоугольников приближается к его реальной площади.

Выражаем это на математическом языке, т. е. выбираем каждый $\xi_i$ , мы все гарантируем $\lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x$ является фиксированной величиной, поэтому мы можем записать это выражение в виде определенного интеграла:

\int_a^bf(x)dx = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i

Здесь f(x) называетсяподынтегральная функция, f(x)dx называетсяподынтегральное выражение, x называется интегральной переменной, а a и b называются верхней и нижней границами интеграла соответственно.

Если определенный интеграл от f(x) по [a, b] существует, то говорят, что f(x) интегрируема по интервалу [a, b].

Какие функции являются интегрируемыми?

Эту проблему нелегко доказать на математическом языке, но гораздо легче понять интуитивно. Из приведенного выше рисунка легко сделать вывод:Непрерывные функции должны быть интегрируемыми, а также интегрируема, если функция ограничена на [a, b] и имеет только конечное число точек излома.Поскольку конечное число разрывов не влияет на расчет площади, с этой точки зрения суждение об интегрируемости на самом деле вполне понятно.

После того, как мы поймем определение деривации, мы можем связать воедино предыдущие свойства непрерывности и деривации, и мы можем составить мелодию с большим числом:

Производное должно быть непрерывным, непрерывное не обязательно является производным. Непрерывное должно быть интегрируемым, но интегрируемое не обязательно непрерывно. Дифференцируемое, вообще говоря, интегрируемо, но интегрируемое не обязательно дифференцируемо.

Понимание и запоминание этой мелодии является основой изучения высшей математики. Если вы не верите в это, вы можете спросить об этом на вступительных экзаменах в аспирантуру. Эти предложения обязательно будут броскими. Неважно, если у вас закружится голова, я открою отдельную статью, когда у меня будет возможность рассказать об этих джинглах.

простой характер

Наконец, давайте рассмотрим некоторые простые свойства определенных интегралов.

первыйаддитивное свойство, $\int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$

Это хорошее доказательство того, что нам нужно только преобразовать его в форму накопления, чтобы разделить содержание добавления в круглых скобках:

\begin{aligned} \int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx &= \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n[f(\xi_i)\pm g(\xi_i)]\Delta x_i\\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i \pm \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n g(\xi_i)\Delta x_i\\ &=\int_a^bf(x)dx\pm \int_a^b g(x)dx \end{aligned}

Другим часто используемым свойством являетсянепрерывный характер, считая, что f(x) интегрируема на всем интервале, то можем получить:

\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx

Независимо от отношения размеров между a, b и c, приведенная выше формула остается в силе. Метод доказательства тот же, что и раньше: выразим интеграл в виде накопления и подставим его в него.

Последнее свойствозащита номера, предполагая, что f(x) и g(x) интегрируемы на интервале [a, b]. И для любого x, принадлежащего [a, b], существуют $f(x) \leq g(x)$ , то мы можем получить: $\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$ .

Доказательство тоже очень простое, делаем $h(x) = g(x) - f(x) \geq 0$ , мы интегрируем h(x), и полученный результат, естественно, больше или равен 0. В сочетании с аддитивным характером интегрирования мы можем сдвинуть член, чтобы получить результат.

В дополнение к трем свойствам, упомянутым выше, определенные интегралы обладают многими другими свойствами. Однако одно из этих свойств является тривиальным, а другое относительно интуитивно понятным, контента, который стоит изучать, не так много, поэтому мы не будем слишком увлекаться, а заинтересованные студенты смогут разобраться в нем сами.

Я не знаю, будут ли у вас какие-то знаки вопроса после того, как вы столько прочитали, мы так много проанализировали, тогдаКак вычислить определенный интеграл?

Не спешите сначала отвечать на этот вопрос, потому что, если вы изучали исчисление, у вас должно быть некоторое представление о том, как вычислять интегралы. Если нет, то бесполезно давать вывод, в математике вывод всегдатребует от нас строгого вывода, а иначе это воздушный замок, даже если ты его запомнишь, то всегда забудешь в будущем. Так что о вычислении и процессе вывода определенного интеграла мы расскажем в следующей статье, так что следите за обновлениями.

На сегодняшней статье все. Если вы чувствуете, что что-то приобрели, пожалуйста, нажмитеПодпишитесь или сделайте ретвитЧто ж, твое маленькое усилие много значит для меня.