Продвинутая математика — теорема о дифференциальном среднем значении

Эта статья возникла из личного публичного аккаунта:TechFlow, оригинальность это не просто, прошу внимания

Сегодня я рассмотрю дифференциальную теорему о медиане для больших чисел, которая, как говорят, лежит в основе многих формул для больших чисел. Из-за отсутствия у меня таланта и знаний у меня нет глубокого понимания этого вопроса. Однако несколько математиков, предложивших теорему о медианной величине, были во всеуслышание: некоторое время назад они нашли время для изучения и нашли ее очень интересной, а не такой скучной, как им казалось. Поэтому в сегодняшней статье, чтобы поговорить с вами на эту тему, я пропущу некоторые не относящиеся к делу или бессмысленные доказательства и постараюсь сделать ее максимально простой и интересной.

Лемма Ферма

Во-первых, это лемма Ферма, которая является предпосылкой нашего введения в теорему Ролля о среднем значении. Эта лемма Ферма очень проста и не требует много места. Итак, прежде чем представить его, давайте поговорим о Ферма.

Ферма известен в математике, его самая известная теория — теорема Ферма о размерах. Я не буду говорить о содержании теоремы, да и к этой статье это не имеет никакого отношения. Но за этим стоит известная история, в которой говорится, что, когда Ферма предложил последнюю теорему Ферма, он не подумал, что она очень блестящая, поэтому не стал доказывать ее подробно. Однажды он листал свой блокнот и нашел блестящее доказательство. Но из-за того, что пустое место рядом с блокнотом было слишком маленьким, Ферма написал на полях книги следующее предложение:

Я нашел отличный способ доказать это, но, к сожалению, здесь слишком мало места, чтобы записать его.

Неожиданно оказалось, что теорема, которую Ферма не воспринимает всерьез, станет очень важной в математическом сообществе в будущем.Удивительно, но бесчисленное количество математиков пытались доказать правильность последней теоремы Ферма, но им это не удалось. Хотя эта теорема широко используется и все думают, что она должна быть правильной, никто не может ее доказать. Это время было также известно как главная проблема в мире математики, и только в 1995 году было сказано, что она окончательно доказана вычислительной мощностью, обеспечиваемой компьютером.

Математические круги также спорят о блестящем решении, которое Ферма написал на полях. Некоторые люди горько вздыхали, думая, что это большая потеря для математического сообщества. Другие считают, что это не очень надежно, и это может быть не вдохновение, а иллюзия. Но в любом случае этого добился и Ферма.Может он и не самый сильный человек в математике в истории, но должен быть самым успешным в "притворстве".

Давайте посмотрим на взгляд Ферма.

Ближе к делу рассмотрим лемму Ферма. Лемма Ферма очень проста, она гласит, что если на кривой есть точка x_0 , так что в x_0 существует по соседству с $f(x) \leq f(x_0)$ (или $f(x) \geq f(x_0)$ ), то значит f'(x_0)=0 .

Учащиеся, знакомые с производными, обнаружат, что на самом деле речь идет задом наперёд. Крайней точкой является точка, в которой производная равна 0. Поскольку это крайняя точка, очевидно, что близлежащие точки либо больше, либо меньше ее. Мы можем понять это, взглянув на картинку ниже.

Процесс доказательства очень прост, мы делаем $\Delta x \to 0$ , то очевидно $f(x + \Delta x) \geq f(x_0), f(x - \Delta x) \leq f(x_0)$ , мы можем доказать его правильность, используя равные левую и правую границы предела.

Теорема Ролля о среднем значении

Теорема Ролля о среднем значении - это небольшое расширение, основанное на лемме Ферма. Давайте еще посмотрим на приведенный выше рисунок.На приведенном выше рисунке значения функций точек A и B равны. Итак, теорема Ролля о среднем значении состоит в том, что если функция удовлетворяет:

непрерывная на отрезке [a, b]
f(a) = f(b)
Дифференцируемый на открытом интервале (A, B)

Итак, в интервале (A, b) должна быть точка x_0 , так что f'(x_0)=0 .

Теорему о медиане также легко понять: поскольку значение функции одинаково в двух конечных точках, независимо от того, убывает ли оно сначала, а затем возрастает, сначала возрастает, а затем убывает, не возрастает или не убывает, то, очевидно, существует будет по крайней мере одна крайняя точка.Так как крайние точки есть, то по лемме Ферма, очевидно, есть точки, где производная равна 0.

Теорема Лагранжа о среднем значении

Теорема Ролля проста и понятна, но есть небольшая проблема, заключающаяся в том, что ограничения слишком мертвы, и не всегда возможно найти две равные точки на функции. В ответ на эту проблему большой парень Лагранж расширил эту формулу.

Он сказал, что пока функция f(x) удовлетворить:

Непрерывно на отрезке [a, b]
На открытом интервале (a, b) можно вывести

Тогда вы можете найти точку $\xi \in (a, b)$ делает:

Эта формула выглядит очень страшно, давайте сделаем деформацию:

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ Нам всем хорошо знаком наклон линии, соединяющей точки a и b. и $f'(\xi)$ это функция в $\xi$ Касательная в этой точке с геометрической точки зрения указывает на то, что есть точка, где касательная параллельна линии, соединяющей конечные точки Мы можем сравнить рисунок ниже.

С точки зрения теоремы, если значения функций точек a и b равны, эта формула в точности совпадает с теоремой Ролля, а это означает, что теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа о среднем значении. Мы использовали лемму Ферма при доказательстве теоремы Ролля, так можем ли мы использовать теорему Ролля при доказательстве теоремы Лагранжа о среднем значении?

Если ее можно использовать, то это конечно хорошо, но напрямую ее использовать нельзя, мы не можем гарантировать, что функция имеет одинаковое значение в двух точках a и b. Чтобы решить эту проблему, нам нужно ввести вспомогательную функцию, которая аналогична введению вспомогательных линий, когда мы решаем задачи по геометрии. Честно говоря, я понятия не имею, как появилась эта вспомогательная функция, и она не описана в книгах. В чем мы можем быть уверены, так это в том, что это работает, это правильно, но как это получилось, мы не знаем, может быть, это вспышка математического вдохновения или таланта.

Раньше я часто сталкивался с такой ситуацией, когда учился на олимпиаде по математике: казалось бы, сложная формула была слегка искажена математическим гением или введена вспомогательная функция или теорема, и она решалась делением три на пять. Я могу понять и понять каждый шаг в этом, но я просто не понимаю, как он это придумал.Эта вспомогательная функция очень типична.

Без лишних слов давайте посмотрим на эту функцию:

L(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)

Эта функция выглядит странно, но она имеет свойство гигантской коровы, то есть ее значения в точках a и b равны и равны 0. Здесь все очень просто.Возьмем производную от этой гигантской коровьей функции:

L'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

По теореме Ролля можно найти точку $\xi \in (a, b)$ делает:

Так что я получил доказательство, это бесполезно и удивительно. Но это еще не конец, и еще не сыграно крупное событие.

Теорема Коши о среднем значении

Картина теоремы Коши о среднем значении точно такая же, как у Лагранжа, но ее смысл более глубокий. В нашем предыдущем обсуждении мы построили у как функцию от х. Но возможно, что и сама ось X является функцией. То есть то, что мы рисовали раньше, было y = f(x) образ, который теперь может стать Y = f(x), X = F(x) Другими словами, обе оси X и Y являются зависимыми от x переменными, и строчная буква x здесь становится параметром.

В такой функции наклон касательной в точке становится: $\frac{dY}{dX}=\frac{f'(x)}{F'(x)}$ . Теорема Коши о среднем значении работает на таких функциях, если функция f, F удовлетворить:

непрерывная на отрезке [a, b]
Дифференцируемая на открытом интервале (a, b)
для любого $x \in (a, b), F'(x) \neq 0$

Тогда есть хотя бы одна точка в (a, b) $\xi$ , удовлетворять:

\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}

Хотя эта формула выглядит очень тигровой, метод доказательства аналогичен приведенному выше, мы вводим вспомогательную функцию, которая в основном такая же:

L(x) = f(x) - f(a)-\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}[F(x) - F(b)]

Тот же метод доказательства: можно найти, что эта вспомогательная функция удовлетворяет теореме Ролля, тогда мы можем вывести ее, и можно доказать точно такой же метод. Я не буду доказывать это здесь, это не имеет особого смысла.

Если разобрать приведенные выше теоремы о медианах, то мы обнаружим, что это русская матрешка, вложенная слоями, но все они изучают одно и то же. Эти теоремы пригодятся в следующих главах по математическому анализу, а пока давайте создадим впечатление.

На сегодняшней статье все.Если вы чувствуете, что что-то приобрели, пожалуйста, отсканируйте код и обратите внимание.Ваши усилия очень важны для меня.