Решение задач | "Ликоу" Задача 560: Сумма является подмассивом K (средний)

Аннотация: Проблема префиксной суммы и хеш-таблицы всегда была очень запутанной. Я чувствую, что она не очень ясна. Недавно я поделюсь некоторыми похожими проблемами, чтобы помочь вам консолидировать решение проблемы префиксной суммы и хеш-таблицы.

Незавершенные пункты:

• Приведите конкретные примеры;

• Почему бы не использовать «скользящее окно», потому что есть отрицательные числа.

Решение задач | "Ликоу" Задача 560: Сумма является подмассивом K (средний)

Дан массив целых чисел и целое число$k$, нужно найти массив, в котором сумма$k$Количество последовательных подмассивов .

Пример 1:

输入:nums = [1,1,1], k = 2
输出: 2 , [1,1] 与 [1,1] 为两种不同的情况。

Пример 2:

Input: nums = [1,2,3], k = 3
Output: 2

диапазон данных:

• $1 \le nums.length \le 2 * 10^4$
• $-1000 \le nums[i] \le 1000$
• $-10^7 \le k \le 10^7$

Метод 1: решение грубой силы (тайм-аут)

• Перечислите все смежные подмассивы, а затем определите, равна ли сумма смежных подмассивов$k$

Справочный код 1:

public class Solution {

    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        int len = nums.length;
        int count = 0;
        for (int left = 0; left < len; left++) {
            for (int right = left; right < len; right++) {

                int sum = 0;
                for (int i = left; i <= right; i++) {
                    sum += nums[i];
                }
                if (sum == k) {
                    count++;
                }
            }
        }
        return count;
    }
}

временная сложность:$O(N^3)$,здесь$N$это длина массива.

Метод 2: вычислить сумму интервала по «сумме префикса»

• Создавайте массивы сумм префиксов для быстрого вычисления сумм интервалов;
• Обратите внимание, что при вычислении суммы интервалов нижний индекс имеет смещение.

Справочный код 3:

public class Solution {

    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        int len = nums.length;
        // 计算前缀和数组
        int[] preSum = new int[len + 1];
        preSum[0] = 0;
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];
        }

        int count = 0;
        for (int left = 0; left < len; left++) {
            for (int right = left; right < len; right++) {
                // 区间和 [left..right]，注意下标偏移
                if (preSum[right + 1] - preSum[left] == k) {
                    count++;
                }
            }
        }
        return count;
    }
}

временная сложность:$O(N^2)$,здесь$N$это длина массива.

Даже если вычисляются суммы префиксов, суммы диапазонов перечисления требуют$O(N^2)$временная сложность. Метод оптимизации таков: запоминать некоторую информацию в процессе обхода.

Способ 3: префиксная сумма + хэш-таблица

Поскольку нас интересует только количество раз, а не конкретное решение, мы можем использовать хеш-таблицу для ускорения операции. Так как количество одинаковых сумм префиксов до этого сохраняется, общее количество интервалов не добавляется один за другим, а временная сложность снижается до$O(N)$.

Эту идею нелегко придумать, и необходимо решать больше подобных задач, чтобы медленно взращивать это чувство. Аналогичные вопросы:

• «Лицензионный» вопрос 1: сумма двух чисел;
• «Ликоу», вопрос 1248: Статистика «изящных подмассивов»;
• «Ликоу» Вопрос 454: Сложение четырех чисел II.

Код ссылки 4:

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

public class Solution {

    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        // key：前缀和，value：key 对应的前缀和的个数
        Map<Integer, Integer> preSumFreq = new HashMap<>();
        // 对于下标为 0 的元素，前缀和为 0，个数为 1
        preSumFreq.put(0, 1);

        int preSum = 0;
        int count = 0;
        for (int num : nums) {
            preSum += num;

            // 先获得前缀和为 preSum - k 的个数，加到计数变量里
            if (preSumFreq.containsKey(preSum - k)) {
                count += preSumFreq.get(preSum - k);
            }

            // 然后维护 preSumFreq 的定义
            preSumFreq.put(preSum, preSumFreq.getOrDefault(preSum, 0) + 1);
        }
        return count;
    }
}

объяснить кодpreSumFreq.put(0, 1);.

Вдумайтесь в смысл алгоритма: после вычисления суммы префиксов текущего числа проверим, сколько сумм префиксов равны текущему числу перед текущим числом.preSum - kШерстяная ткань?

Это потому, что удовлетворениеpreSum - (preSum - k) == kНас интересует количество интервалов.

Для первого случая перед нижним индексом 0 нет элемента, можно считать, что сумма префикса равна 0, а число равно 1, поэтомуpreSumFreq.put(0, 1);, что необходимо и целесообразно.

временная сложность:$O(N)$,здесь$N$это длина массива.