Теория игр: смотреть корейские драмы или смотреть футбол?

Мало знаний, большой вызов! Эта статья участвует в "Необходимые знания для программистов«Творческая деятельность.

Проблема в том, что у мужа и жены только один телевизор.Жена хочет смотреть танцы, а муж хочет смотреть футбол.Если обе стороны согласятся смотреть футбол или танцы, будет определенный доход.Если они не согласны, доход будет 0. Очевидно, что чистого равновесия по Нэшу не существует, есть две точки равновесия.

	танец	футбол
танец	1,2	0,0
футбол	0,0	2,1

При смешанной стратегии равновесия по Нэшу вероятность того, что жена смотрит танцы с вероятностью p и футбол, равна 1 - p, а муж смотрит танцы с вероятностью q и вероятность футбола равна 1 - q.

• Ожидаемые преимущества стратегии мужа по просмотру футбола

$U_1(смотреть футбол,t) = 2 (1-p) + 0 \times p =2-2p$

Муж предпочитает смотреть футбол, когда жена тоже предпочитает смотреть футбол с вероятностью 1-p выиграет 2

• Ожидаемые выгоды от того, что мужья решат смотреть танцевальные стратегии

$U_1(смотреть танец, t) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p$

Цель случайности жены: сделать так, чтобы у мужа не было возможности ею воспользоваться, какую бы стратегию ни выбрал муж, ожидаемая отдача одинакова

$2-2p = p \rightarrow p=\frac{2}{3}$

• Ожидаемые выгоды от того, что жены решат смотреть футбольные стратегии

$U_2(смотреть футбол,t) = 1 \times (1-q) + 0 \times q =1-p$

Жена предпочитает смотреть футбол, когда муж тоже смотрит футбол с вероятностью 1-q получит 1

• Ожидаемые выгоды от того, что жены выберут просмотр танцевальных стратегий

$U_2(смотреть танец, t) = 2 \times q + 0 \times (1-q) = 2q$

$1-q = 2q \rightarrow q=\frac{1}{3}$

Разница между равновесием Нэша в чистой стратегии и равновесием Нэша в смешанной стратегии состоит в том, что любая конечная игра имеет равновесие Нэша смешанной стратегии (это доказательство исходит из теоремы Нэша), но не каждая игра имеет равновесие Нэша чистой стратегии. Здесь мы утверждаем, что: любая бинарная матричная игра имеет равновесие Нэша

Равновесие Нэша в смысле смешанной стратегии

В любой заданной игре с нулевой суммой для двух игроков, если существует оптимальная стратегия для игрока 1 и игрока 2, оптимальные стратегии соответственно$X^*$и$Y^*$

$V_{s_1} = V_{G} = V_{S_2}$здесь$V_G$представляет ожидаемый выигрыш игрока 1 в равновесии Ценность игры G

Когда муж дает распределение вероятности не даст жене смотреть футбол и смотреть, о Насколько я знаю о своем муже, он предпочитает смотреть футбол.

• 2/3 шанс пойти посмотреть футбол
• 1/3 вероятности решит пойти на танцы