Уравнения, обычно используемые при выводе инверсной кинематики робота

Найдите уравнение:$sin(\theta)=a$

тогда есть,$cos(\theta)=\pm \sqrt{1-a^{2}}$

Следовательно,$\theta=atan2(sin(\theta), cos(\theta))=atan2(a, \pm \sqrt{1-a^{2}})$

---

Найдите уравнение:$cos(\theta)=b$

тогда есть,$sin(\theta)=\pm \sqrt{1-b^{2}}$

Следовательно,$\theta=atan2(sin(\theta), cos(\theta))=atan2(\pm \sqrt{1-b^{2}}, b)$

---

Найдите уравнение:$a \cdot cos(\theta)+b \cdot sin(\theta)=0$

сделать:$a=\sqrt{a^{2}+b^{2}}sin(\alpha) \Rightarrow sin(\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}cos(\alpha) \Rightarrow cos(\alpha)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

тогда есть,$\sqrt{a^{2}+b^{2}}sin(\alpha)cos(\theta)+\sqrt{a^{2}+b^{2}}cos(\alpha)sin(\theta)=0$

который,$\sqrt{a^{2}+b^{2}}sin(\alpha+\theta)=0 \Rightarrow sin(\alpha+\theta)=\frac{0}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=0$

Так,$cos(\alpha + \theta)=\pm \sqrt{1-0}=\pm 1$

Следовательно,$\theta=atan2(sin(\alpha+\theta), cos(\alpha+\theta))-atan2(sin(\alpha), cos(\alpha))=0-atan2(a, b)=-atan2(a, b)$

---

Найдите уравнение:$a \cdot cos(\theta) + b \cdot sin(\theta) = c$

сделать:$a=\sqrt{a^{2}+b^{2}}sin(\alpha) \Rightarrow sin(\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}cos(\alpha) \Rightarrow cos(\alpha)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

тогда есть,$\sqrt{a^{2}+b^{2}}sin(\alpha)cos(\theta)+\sqrt{a^{2}+b^{2}}cos(\alpha)sin(\theta)=c$

который,$\sqrt{a^{2}+b^{2}}sin(\alpha+\theta)=c \Rightarrow sin(\alpha+\theta)=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Так,$cos(\alpha+\theta)=\pm \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Следовательно,$\theta= atan2(sin(\alpha+\theta), cos(\alpha+\theta)) - atan2(sin(\alpha), cos(\alpha))= atan2(c, \pm \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}) - atan2(a, b)$