Введение в основные понятия теории вероятностей

1. Рандомизированные испытания

Тест со следующими характеристиками называетсярандомизированное исследование

можно повторить в тех же условиях
Существует более одного возможного исхода каждого испытания, и могут быть достигнуты все возможные исходы определенного испытания;
Не уверен, какой результат получится, пока не проведешь эксперимент

2. Образец пространства

рандомизированное исследование $E$ Множество всех возможных исходов называется $E$ Образцовое пространство , обозначаемое как $S$
элементы выборочного пространства, т.е. $E$ для каждого результата, называемого точкой выборки

3. Случайные события

контрольная работа $E$ примерное пространство $S$ Подмножество $E$ случайные события, называемыесобытие
В каждом испытании, если и только если возникает точка выборки в этом подмножестве, это называется этимсобытие происходит
Набор из одной точки, состоящий из точки выборки, называетсяосновное событие
Образец пространства $S$ содержит все точки выборки, называемыенеизбежное событие
пустой набор $\empty$ не содержит точек выборки и не встречается в каждом испытании, называемомневозможное событие

4. Отношения между событиями и операциями над событиями

4.1 Связь событий

Подсобытие: $A \subset B$ , Выражать $A$ происходит, то $B$ должно произойти
Равные события: $A \subset B$ и $B \subset A$ => $A=B$
и событие: $A \cup B = \{x| x \in A \quad or \quad x \in B\}$ $A$ и $B$ по крайней мере один происходит
Накопить события: $A \cap B = \{x| x \in A \quad and \quad x \in B\}$ $A$ и $B$ одновременный
Плохое событие: $A - B = \{x| x \in A \quad and \quad x \not\in B\}$ $A$ происходить , $B$ не бывает
Взаимоисключающие события: $A \cap B = \emptyset$
Обратное событие/противоположное событие: $A \cup B = S \quad and \quad A \cap B = \emptyset$ $A$ и $B$ только один случается
$A$ обратное событие $\overline {A}=S- \overline{B}$

4.2 Работа с событием

коммутативный закон $A \cup B = B \cup A$ ; $A \cap B = B \cap A$
ассоциативность $(A \cup B)\cup C = A \cup (B\cup C)$ ; $(A \cap B)\cap C = A \cap (B\cap C)$
распределительный закон $(A \cup B)\cap C = (A \cap C) \cup (B\cap C)$ ; $(A \cap B)\cup C = (A \cup C) \cap (B\cup C)$
Закон де Моргана $\overline {A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}$ ;

$\overline {A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$

5. Частота и вероятность

5.1 Частота

В тех же условиях, $n$ тест, здесь $n$ В ходе судебного разбирательства произошло $A$ количество вхождений $n_A$ событие $A$ происходитЧастота,соотношение $n_A/n$ событие $A$ происходитчастота, не забудьте сделать $f_n(A)$

5.2 Вероятность

Предполагать $E$ рандомизированное исследование, $S$ это его выборочное пространство, для $E$ каждое событие $A$ Чтобы присвоить реальный номер, запишите $P(A)$ , называется событием $A$ извероятность. Функция вероятности обладает следующими свойствами
1. неотрицательность: для каждого события $A$ ,имеют $P(A)>=0$
2. Норматив: для неизбежных событий существуют $P(S)=1$
3. Аддитивность: Пусть $A_1,A_2,A_3,\cdots$ два несовместимых события, т.е. $A_iA_j=\emptyset,i\neq j, \quad i,j = 1,2,3,\cdots$ ,имеют
  
  $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cdots )=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+\cdots$
природа
1. $P(\emptyset)=0$
2. конечная аддитивностькак $A_1,A_2,A_3,\cdots,A_n$ два несовместимых друг с другом события, то $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cdots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+\cdots+P(A_n)$
3. Предполагать $A,B$ два события, если $A \subset B$ тогда есть $P(B-A)=P(B)-P(A); \quad P(B) \geq P(A)$
4. на любое мероприятие $A$ , $P(A) \leq 1$
5. Вероятность обратного событияна любое мероприятие $A$ , $P(\overline{A}) = 1-P(A)$
6. формула сложениядля любых двух событий $A,B$ имеют $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ $1^o.$ Это свойство можно обобщить на несколько событий, например $A_1,A_2,A_3$ для любых трех событий, то $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1A_2)-P(A_1A_3)-P(A_2A_3)+P(A_1A_2A_3)$
  $2^o.$ Как правило, для любого $n$ мероприятие, $A_1,A_2,A_3,\cdots,A_n$ , что можно доказать по индукции
  $P(A_1 \cup A_2 \cdots \cup A_n)=\sum_{i=1}^{n}{P(A_i)} - \sum_{1 \le i <j \le n }{A_iA_j} + \sum_{1 \le i <j<k \le n}{P(A_iA_jA_k)} + \cdots + (-1)^{n-1}P(A_1A_2\cdots A_n)$

6. Классические вероятностные модели.

1) Выборочное пространство эксперимента содержит лишь ограниченное число элементов 2) Каждое основное событие в эксперименте имеет одинаковую вероятность наступления, и эксперимент с этими двумя характеристиками называетсяЭквипотенциальный профиль, является основным объектом исследования на раннем этапе развития теории вероятностей, поэтому его еще называютКлассический профиль

$P(A) = \sum_{j=1}^{k}{P(\{{e_i}_j\})} = \frac{k}{n} = \frac{Количество основных событий, содержащихся в A} { Общее количество базовых событий в S}$

7. Условная вероятность

Для общего классического профиля пусть общее количество базовых событий в эксперименте равно $n$ , $A$ Количество базовых событий, содержащихся в $m(m>0)$ , $AB$ Количество включенных базовых событий составляет $k$ , то есть $P(B|A)=\frac{k}{m} = \frac{k/n}{m/n}=\frac{P(AB)}{P(A)}$ .
определять $A,B$ два события и $P(A)>0$ ,сказать $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ для мероприятия $A$ событие в условиях $B$ происходитУсловная возможность, обладает следующими свойствами:
1. неотрицательность: для каждого события $B$ ,имеют $P(B|A) \ge 0$
2. Норматив: для неизбежных событий $S$ ,имеют $P(S|A) = 1$
3. Аддитивность: Пусть $B_1,B_2,\cdots$ это два или двавзаимно несовместимыесобытия, есть $P(\bigcup_{i=1}^{\infty} |A)=\sum_{i=1}^{\infty}{P(B_i|A)}$
  
  залюбойсобытие $B_1,B_2$ ,имеют $P(B_1\cup B_2|A) = P(B_1|A)+P(B_2|A)-P(B_1B_2|A)$ .
теорема умножения

По определению условной вероятности пусть $P(A)>0$ , то есть $P(AB)=P(B|A)P(A)$ , которая называется формулой умножения
- В общем, пусть $A_1,A_2,A_3,\cdots ,A_n$ это n событий, $n \ge 2$ ,и $P(A_1A_2A_3\cdots A_{n-1})>0$ , то есть
  $P(A_1A_2A_3 \cdots A_{n})=P(A_n|A_1A_2A_3 \cdots A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1A_2A_3 \cdots A_{n-2}) \cdots P(A_2|A_1)P(A_1) \quad (1)$
  
  При понимании уравнения (1) вы можете попытаться проанализировать его с самой правой части выражения справа от знака равенства, как в $P(A_2|A_1)P(A_1)=P(A_1A_2)$ , предпоследний член формулы (1) равен $P(A_3|A_1A2)$ ,но $P(A_3|A_1A2)P(A_2|A_1)P(A_1) = P(A_3|A_1A2)P(A_1A_2) = P(A_1A_2A_3)$ и т.д., можно сделать вывод, что формула (1)
формула полной вероятности
- разделятьопределить, установить $S$ для теста $E$ выборочное пространство , $B_1,B_2,\cdots B_n$ за $E$ совокупность событий, если
  1. $B_iB_j=\empty,i\neq j,i,j=1,2,\cdots,n;$
  2. $B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_n=S$ ,
  сказать $B_1,B_2,\cdots B_n$ для пробного пространства $S$ один изразделять(полная группа событий)
- теоремаустановить тест $E$ Образцовое пространство $S$ , $A$ за $E$ событие времени, $B_1,B_2,\cdots B_n$ за $S$ подразделение , и $P(B_i)>0(i=1,2,\cdots,n)$ ,но $P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)$ Эта формула называетсяформула полной вероятности
- теоремаустановить тест $E$ Образцовое пространство $S$ , $A$ за $E$ событие времени, $B_1,B_2,\cdots B_n$ за $S$ подразделение , и $P(A)>0,P(B)>0 \quad(i=1,2,\cdots,n)$ ,но
  
  $P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{j=1}^{n}{P(A|B_j)P(B_j)}} \quad i = 1,2,\cdots,n. \quad (2)$
  Эта формула называетсябайесовская формула
- Вероятность, полученная из прошлого опыта и анализа, называетсяАприорная вероятность, как в формуле (2) $P(B_i)$
- случайное событие или неопределенное событиеАпостериорная вероятностьэто условная вероятность, полученная после рассмотрения и предоставления соответствующих свидетельств или данных
Ссылаясь на уравнение 2, его можно просто понять как

$A$ : Результат события (данные наблюдения)

$B$ : Влияющие факторы событий

$P(B|A)$ : апостериорная вероятность

$P(B)$ : априорная вероятность

8. Независимость

Предполагать $A,B$ два события, если выполняется уравнение $P(AB)=P(A)P(B)$ событие $A,B$ Независимый, именуемый $A,B$ независимый
Набор теоремы 1 $A,B$ два события и $P(A)>0$ ,как $A,B$ независимо друг от друга, то $P(B|A)=P(B)$ наоборот.
Теорема 2. Если $A$ и $B$ независимы друг от друга, следующие командные соревнования также независимы друг от друга:
- $A$ и $\overline B$ , $B$ и $\overline A$ , $\overline A и \overline B$
Предполагать $A,B,C$ три события, если выполняется уравнение

$\left.\begin{array} {lcl} P(AB)=P(A)P(B), \\ P(BC)=P(B)P(C), \\ P(AC)=P( A)P(C), \\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C) \\ \end{массив} \right\}$

событие $А, Б, С$ Независимый, определение имеет следующее следствие
- Если событие $A_1,A_2,\cdots,A_n(n\ge2)$ независимо друг от друга, то любой из $k(2\le k\le n)$ события не зависят друг от друга
- как $n$ Мероприятия $A_1,A_2,\cdots,A_n(n\ge2)$ независимыми друг от друга, т. $A_1,A_2,\cdots,A_n(n\ge2)$ Замените любое количество событий в $n$ события остаются независимыми друг от друга
как $n$ Мероприятия $A_1,A_2,\cdots,A_n(n\ge2)$ независимо друг от друга существуют $P(\bigcap_{i=1}^{n}{A_i}) = \prod_{i=1}^{n}{P(A_i)} ;\quad P(\bigcup_{i=1}^{n}{A_i}) =1- \prod_{i=1}^{n}{P(\overline{A_i})}=1- \prod_{i=1}^{n}{(1-P(A_i))}$