Высшая математика - формула Лейбница Тира Ньютона

Эта статья возникла из личного публичного аккаунта:TechFlow, оригинальность это не просто, прошу внимания

СегодняЧасть 13 специальных тем высшей математикиВ этой статье давайте посмотрим, как следует вычислять определенный интеграл.

Практическое значение определенных интегралов

Из предыдущих статей мы в основном познакомились с понятием определенного интеграла и некоторыми его простыми свойствами, а сегодня наконец добрались до темы, попробуем вычислить этот интеграл.

Давайте сначала вспомним интуитивное ощущение определенного интеграла, который может представлять кривую область, например:

Если мы рассмотрим f (x) на приведенном выше рисунке какфункция скорости,Ось x рассматривается как время, то f(x) представляет скорость объекта, движущегося в момент времени x. Затем мы суммируем все расстояния, пройденные мгновенно, и получаемвектор смещения, и эта длина смещения в точности равна площади нашей кривой. После того, как мы свяжем определенный интеграл с физическим перемещением, легко сделать вывод, что в физике перемещение объекта и время также являются взаимно-однозначной отображающей связью, так что это тоже функция.

С этим выводом мы можем сделать предположение, предполагая, что функция s(t) удовлетворяет условию:

где a - фиксированное значение, мы можем думать об этом какМомент, когда происходит смещение, s(t) — функция смещения объекта и времени. Таким образом, перемещение от a до b за период равно $s(b) - s(a) = \int_a^b f(t)dt$ .

Вычислительный вывод

Когда мы связывали определенные интегралы с физическими перемещениями, мы были очень близки к их решению.

Согласно физическому определению, скорость движения объекта фактически равна скорости изменения вектора положения во времени, хотя и недостаточно строго, но фактически представляет собой дифференциальную составляющую, которую можно аппроксимировать.рассматривается как производная функции смещения. Конечно, это всего лишь интуитивное понимание, и нам также нужно выразить его на строгом математическом языке.

Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt, (a \leq x \leq b)$ , мы пытаемся доказать $\Phi'(x) = f(x)$ .

Возьмем достаточно малое абсолютное значение $\Delta x$ , так что $x + \Delta x \in (a, b)$ ,Так:

\Phi(x + \Delta x) = \int_a^{x+\Delta x}f(t)dt

мы вычитаем это $\Phi(x)$ ,получить:

\begin{aligned} \Delta \Phi &= \Phi(x+\Delta x) - \Phi(x) \\ &= \int_a^{x+\Delta x} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt\\ &= \int_x^{x+\Delta x}f(t)dt \end{aligned}

Согласно нашей интегральной теореме о медиане можно получить, что существует $\xi \in (x, x+\Delta x)$ , такой что:

\begin{aligned} \Delta \Phi &= f(\xi) \Delta x\\ \frac{\Delta \Phi}{\Delta x} &= f(\xi) \end{aligned}

Так как f(x) непрерывна на [a, b] и $\Delta x\to 0$ ,так $\xi \to x$ ,следовательно $\lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)$ , что еще раз доказывает $\Phi(x)$ Производная существует, и:

Мы очень близки к нашей цели здесь, и мы только в одном шаге. На этом наиболее важном шаге два математика претендуют на верховную власть: один — Ньютон, а другой — Лейбниц. Это также очень известный пример коана в математическом мире, история которого очень сложна. Есть известный документальный фильм "История недовольства исчислением«Это история. Заинтересованные студенты могут пойти на станцию B, чтобы посмотреть.

Чтобы избежать войны, многие учебники называют ее формулой Ньютона-Лейбница, по имени двух человек.

Формула Ньютона-Лейбница

Согласно определению исходной функции, из приведенного выше вывода можно получить $\Phi(x)$ это функция f(x) один на [а, б]Примитивный. Мы предполагаем, что F(x) также является примитивной функцией f(x), поэтому мы можем знать $F(x) - \Phi(x) = C$ , где C — константа.

Пусть х = а, тогда можно получить $F(a) - \Phi(a) = C$ ,в соответствии с $\Phi(x)$ определение, мы можем знать $\Phi(a) = 0$ ,так F(a) = C ,и $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ , вы можете получить:

\begin{aligned} F(x) - \Phi(x) &= C\\ F(x) - \int_a^x f(t)dt &= F(a)\\ \int_a^x f(t)dt &= F(x) - F(a) \end{aligned}

Подставляем b в, можем получить $\int_a^x f(x)dx = F(b) - F(a)$ , что является формулой Ньютона-Лейбница.

Давайте рассмотрим описанный выше процесс вывода, это не сложно, но несколькоОбработка замещения очень умная, в противном случае, даже если мы можем сделать выводы, это не является строгим.

Суммировать

С помощью формулы вычисления определенного интеграла можно решить многие проблемы, которые мы не могли решить раньше, тем самым заложив основу всего исчисления, которое не только способствует развитию математики, но и движет почти всеми дисциплинами науки и техники. Почти все основные инженерные дисциплиныИспользуйте исчисление для некоторых сложных вычислений, даже в области вычислительной техники, которая, кажется, не так уж связана с математикой, поэтому курс предлагается всем студентам, изучающим естественные и инженерные науки в университетах.

Но, к сожалению, часто трудно предвидеть его важность, когда мы учимся, а когда мы это предвидим, то часто через много лет, и нет такой среды и времени, чтобы мы хорошо учились.

На сегодняшней статье все. Если вы чувствуете, что что-то приобрели, пожалуйста, нажмитеПодпишитесь или сделайте ретвитЧто ж, твое маленькое усилие много значит для меня.