Высшая математика - интеграл по частям для нарезки дынь и овощей

Эта статья возникла из личного публичного аккаунта:TechFlow, оригинальность это не просто, прошу внимания

СегодняДокумент 10 по специальным темам высшей математикистатья.

Сегодня мы рассмотрим еще один метод решения неопределенных интегралов —целое по частям, этот метод очень распространен, даже чаще, чем метод замены. Насколько я помню немного больших чисел, это одна из вещей, которые необходимо проверить.

Хотя это содержание очень важно, оно не сложное, а вывод очень простой, поэтому эта статьяпочти не сложно, а формулы вывода нет.

Принципы и выводы

Принцип метода интегрирования по частям очень прост, на самом деле он такжеРодился из производной формулывывод. Когда мы ранее ввели неопределенный интеграл, мы ввели формулу простого интеграла, полученную путем сложения и вычитания функций. На этот раз формула интеграла по частям исходит из правила вывода произведения двух функций с использованиемИнтеграл - это обратная операция выводаИз свойств , получить формулу интеграла по частям.

Давайте посмотрим, предположим, что u и v — две функции от x, и ихПроизводная непрерывная. По формуле производной можно получить формулу производной произведения функции uv:

Эта формула должна быть очень простой, мы очень хорошо знакомы с математикой в средней школе, и тогда мы делаем простой сдвиг, мы можем получить:

Затем мы выравниваем обе части уравнениянайти неопределенный интеграл:

Приведенную выше формулу также можно упростить и записать в виде:

Это наша формула интеграла по частямПроцесс получения, не правда ли просто. У некоторых студентов могут возникнуть некоторые сомнения по поводу этого результата, например, почему интеграл (uv) становится uv. Причина этого очень проста, потому что найти неопределенный интеграл — это найти исходную функцию через производную функцию, поэтому, когда мы интегрируем результат после вывода функции, мы естественным образом получаем саму функцию. Вот почему мы сказали ранее, что неопределенный интеграл является обратной производной.

В какой-то момент мы хотим спросить $\int uv'dx$ не легко, но $\int u'vdx$ Это проще, в это время мы можем использовать формулу интеграла по частям, чтобы получить результат.

Выбор u и v

В методе интеграла по частямСамое главное это выбор u и v, что напрямую связано с нашей вычислительной сложностью и сложностью. Давайте посмотрим на пример ниже.

Например, мы хотим $\int x\cos x dx$ , эта формула более хлопотная, и ни первый тип метода обмена, ни второй тип метода обмена не очень просты для понимания. Попробуем проинтегрировать по частям, в этой формуле всего две части, что относительно очевидно, будем считать, что $u = x, dv = \cos x$ ,Так $v = \sin x, du=dx$ , приводим интеграл по частям:

\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx

$\int \sin x dx$ Получить исходную функцию несложно, поэтому общий ответ таков:

\int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C

Но почему это должно быть $u = x, dv = \cos xdx$ Шерстяная ткань? если мы сделаем $u = \cos x, dv = x dx$ Это будет работать?

Конечно бывает, ноОбщий расчет доставит много хлопот, мы просто подставляем его в dv = xdx ,Так $v = \frac{x^2}{2}$ , $du = -\sin xdx$ , после подстановки получим более сложную формулу:

\int x \cos x dx = \cos x \cdot \frac{x^2}{2} + \int \frac{x^2}{2}\sin x dx

Мы просим, чтобы интеграл этой формулы мог быть более сложным, чем исходная формула.Этот пример иллюстрирует тот момент, когда мы выбираем u и vне слепой, выбрать функцию для упрощения вычислений непросто.

Вообще говоря, есть два принципа, которые гарантируют, что мы можем получить лучшие результаты, используя метод интегрирования по частям.Вычисление v просто. В предыдущем примере, если dv комплексное, это сделает и наше вычисленное значение v также комплексным. Подстановка в формулу затрудняет вычисление vdu. Второй принцип $\int vdu$ чем $\int udv$ Его легко вычислить, что тоже очевидно, иначе зачем нам метод интегрирования по частям, лучше вычислить его напрямую.

маленькая хитрость

На самом деле, из приведенного выше примера и формулы интеграла по частям мы можем найти подсказку.Предпосылка интеграла по частям состоит в том, чтобы сделать вычисление v как можно более простым.Какие функции интегрирования и вывода относительно просты?

Очевидно, тригонометрические функции и различные функции, где фигурирует e. Итак, для функций с тригонометрическими функциями и натуральным основанием eЧастичные баллы имеют приоритет.

Давайте посмотрим на другой пример:

В этом примере появилось e^x ,мы знаем e^x это хорошо,Его интеграл и вывод равны самому себе, он больше подходит для использования в качестве v. Итак, мы делаем u=x, dv = e^x ,так du = dx, v = e^x , можно получить ответ, подставив его в формулу:

\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C

Давайте посмотрим на другой пример:

мы заказываем $u = \ln x, dv = xdx$ ,так $du = \frac{1}{x}dx, v = \frac{x^2}{2}$ , можно заменить на:

\begin{aligned} \int x \ln x dx &= \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{2}dx \\ &=\frac{x^2}{2} - \int \frac{x}{2} dx \\ &=\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} + C \end{aligned}

Помимо хитрости в выборе функции, у нас есть еще одна хитрость.Интеграл по частям можно использовать несколько раз, для некоторых более сложных выражений одного разбиения недостаточно.В настоящее время мы можем рассмотреть возможность продолжения использования интеграла по частям для множественных разбиений. Давайте посмотрим на пример:

Как и прежде, мы делаем u=x^2, dv = e^xdx ,так du = 2x dx, v = e^x . Подставив в исходную формулу, получим:

\int x^2 e^x dx = x^2e^x - \int 2x e^x dx

Заметим, что есть еще один интеграл, который нелегко найти в формуле в правой части, а пока продолжаем использовать метод интеграла по частям, так что u = 2x, dv = e^x dx , Так du = 2 dx, v = e^x , мы можем получить:

\begin{aligned} \int x^2 e^x dx &= x^2e^x - \int 2x e^x dx\\ &=x^2 e^x - 2x \cdot e^x + \int 2 e^x dx \\ &= e^x (x^2 - 2x + 2) \end{aligned}

в сочетании с заменой

В дополнение к многократному делению интеграла, еще одним убийцей является то, чтоИспользуется в сочетании с методом метаморфозы.. Сила этих двух методов значительно увеличивается при объединении, что еще больше расширяет область применения формулы.

Например, давайте рассмотрим пример:

Хотя в этой формуле у нас есть e, ее показатель степени также является функцией, и нам непросто использовать метод интегрирования по частям. В это время нам нужно совместить метод обмена, мы делаем $t = \sqrt{x}$ ,так x = t^2, dx = 2tdt

Мы можем получить:

Мы уже знакомы с этой формулой, применяя интеграл по частям, мы легко можем получить:

2\int t e^t dt = 2(t e^t - \int e^t dt) = 2e^t(t - 1) = 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) + C

Суммировать

На этом наш материал о методе интегрирования по частям закончен.Также закончен весь метод решения неопределенного интеграла.. На самом деле, грубо говоря, есть только два метода: метод замещения и интегрирование по частям, хотя эти два метода просты, но при умелом использовании они не малы и могут решить многие, казалось бы, сложные задачи интеграции. Вы можете посмотреть эти две статьи вместе.

На сегодняшней статье все. Если вы чувствуете, что что-то приобрели, пожалуйста, нажмитеПодпишитесь или сделайте ретвитЧто ж, твое маленькое усилие много значит для меня.